有一天，小明無聊，對宿舍玩CS的舍友進行統(tǒng)計，結(jié)果剛記下四行，被舍友認為影響發(fā)揮，給踢到床下去了，讓我們看看可憐的小明的記錄：
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武器 |?子彈數(shù)量 |?血 |?行為
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機槍 |?多?| 少 |?戰(zhàn)斗
機槍 |?少?| 多 | 逃跑
小刀 |?少?| 多 |?戰(zhàn)斗
小刀 |?少?| 少 | 逃跑
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為了對得起小明記錄的這四條記錄，我們對其進行決策樹分析，從數(shù)據(jù)中看：
1. 如果一個玩家子彈很多，那么即使血少他也會戰(zhàn)斗，如果子彈少的話，即使血多，他也會逃跑隱蔽起來；
2. 那我們再看子彈少的情況下，武器靠刀子，當血多時候，他還是會打一打得，但是血少，就立即逃跑隱蔽了。

這是我們大腦直覺上去分析，既然本文我是想聊一聊決策樹，那么我們就用決策樹來對小明的這些數(shù)據(jù)小試牛刀一下，順便來慰藉一下小明（從小到大我們已經(jīng)看過無數(shù)的小明了，這里再借用一下大度的小明）。

我們現(xiàn)在將數(shù)據(jù)分為兩塊：
X = {武器類型，子彈數(shù)量，血}
Y = {行為}
我們建立這顆決策樹的目的就是，讓計算機自動去尋找最合適的映射關系，即：Y = f(X)，所謂聽上去大雅的“數(shù)據(jù)挖掘”學科，干得也差不多就是這回事，X我們稱之為樣本，Y我們稱之為結(jié)果（行為/類）。

樣本是多維的，X = {x1,x2,...xn}，如本例：X = {x1=武器類型，x2=子彈數(shù)量，x3=血}，我們就是要通過這些不同維度的觀測記錄數(shù)據(jù)，和應對的不同結(jié)果，找到規(guī)律（映射關系），舉個例子：
X = {天氣，溫度，濕度，女友約會} -> Y = {是否答應兄弟下午去打籃球}
X = {老媽說你是胖子，老婆說你是胖子，自己上秤評估自己體重} -> Y = {去辦健身卡減肥}

這樣來說，X的多維不同的數(shù)據(jù)，大個比方，更像是很多大臣，那么我們就是要根據(jù)這些大臣的意見，來決策，如本例：
>> 左大臣：武器類型
>> 中大臣：子彈數(shù)量
>> 右大臣：血

這些大臣每個人都有想法，左右著皇帝繼續(xù)戰(zhàn)斗還是撤退，但是三個也不能全信，那么我們就要根據(jù)他們的陳年老帳（訓練樣本）來評判他們的話語的重要性，當然，優(yōu)先級高的肯定話語是有重量的，我們先提前來預覽一下這個例子訓練出來的決策樹的樣子：

這個根據(jù)小明的數(shù)據(jù)訓練出來的決策樹是不是和我們剛才拍腦門分析出來的結(jié)果差不多呢？看，子彈多就開打，子彈少，在看看用什么武器，如果又沒子彈又用機槍，那鐵定跑，如果用小刀，在掂量一下自己血厚不厚，厚則打，不厚則逃，看來決策樹分析的結(jié)果還是可以的啊,接下來，我們來研究研究，計算機（這個只會重復人們給它設定的代碼的家伙）是如何實現(xiàn)這樣的分析的。

既然是三個大臣提意見{左大臣：武器類型，中大臣：子彈數(shù)量，右大臣：血}，那么我們要分析一下歷史數(shù)據(jù)（訓練數(shù)據(jù)）他們哪個話更靠譜：

我們先單純的看看左大臣的歷史戰(zhàn)績（統(tǒng)計訓練樣本）：
機槍 -> 戰(zhàn)斗
機槍 -> 逃跑
小刀 -> 戰(zhàn)斗
小刀 -> 逃跑
用機槍，你戰(zhàn)斗逃跑的概率都是50%，用刀子，你亦似打似逃！看來這個大臣立場不堅定啊！

再看看中大臣的：
子彈多 -> 戰(zhàn)斗
子彈少 -> 逃跑
子彈少 -> 戰(zhàn)斗
子彈少 -> 逃跑
用機槍，你戰(zhàn)斗概率是100%，用刀子，你33.3%打，你66.6%撤！這位大臣似乎堅定了一些。

再看看右大臣的：
血少 -> 戰(zhàn)斗
血多 -> 逃跑
血多 -> 戰(zhàn)斗
血少 -> 逃跑
和左大臣一樣，立場不堅定，50:50啊！

這樣，中大臣的話的重量就提升了，因此決策書的第一層就重用中大臣吧（中大臣變成一品大員）

計算機是怎么來做到這一步的呢？且讓我一步一步講：

決策樹訓練中，有一個很重要的尺子，來衡量大臣的可信度，這個尺子，就是信息論的熵(Entropy)，這個熵是何許人也，竟然朝廷大臣的可信度竟然用次來衡量，讓我們對他做個自我介紹吧：
熵，洋名為（Entropy），乃測量信息的混亂程度為職，縱橫科學界各門學術之中，為人低調(diào)，儉樸，就一個很短的公式：E = sum(-p(I)*log(p(I)))，I=1:N（N類結(jié)果，如本例兩種，戰(zhàn)斗或逃跑），當信息一致，所有樣本都屬于一個類別I，那么熵為0，如果樣本完全隨機，那么熵為1，表明這個臣子對這種狀態(tài)的預測就是胡言亂語。

OK，熵，告訴我你對這個數(shù)據(jù)的看法：
E(機槍) = -(1/2)Log2(1/2) - (1/2)Log(1/2) = 0.5 + 0.5 = 1
E(小刀) = -(1/2)Log2(1/2) - (1/2)Log(1/2) = 0.5 + 0.5 = 1
E(子彈多) = -(1/1)Log2(1/1) - (0/1)Log(0/1) = 0 + 0 = 0
E(子彈少) = -(1/3)Log2(1/3) - (2/3)Log(2/3) = 0.5283 + 0.39 = 0.9183
E(血多) = -(1/2)Log2(1/2) - (1/2)Log(1/2) = 0.5 + 0.5 = 1
E(血少) = -(1/2)Log2(1/2) - (1/2)Log(1/2) = 0.5 + 0.5 = 1

那么我們怎么用這個熵來衡量大臣（每維數(shù)據(jù)）的可信度呢，這里還要再引出一位仁兄，其是熵的上級，他熟知熵的能力，很會用熵，他就是信息增益(Information Gain)，我們來看看這位上級是如何用熵來衡量的：
Gain(Sample,Action) = E(sample) - sum(|Sample(v)|/Sample * E(Sample(v)))

OK，Information Gain，說說你是怎么評估這個例子的三位大臣的！

Gain(武器類型) = E(S) - (2/4)*E(機槍) - (2/4)*E(小刀) = 1 - (2/4)*1 - (2/4)*1 = 0
Gain(子彈數(shù)量) = E(S) - (1/4)*E(子彈多) - (3/4)*E(子彈少) = 1 - (1/4)*0 - (3/4)*0.9183 = 0.3113
Gain(血量) = E(S) - (2/4)*E(血多) - (2/4)*E(血少) = 1 - (2/4)*1 - (2/4)*1 = 0

接著，計算機通過信息增益結(jié)果，選擇最大的，作為一品大員


且看一品大員對子彈多的情況下料事如神（暫且不說本例樣本少），但是其在子彈少的情況下，決策還是不行的，那么，再用同樣的方法，再去選擇二品，三品，這就是決策樹的訓練，呵呵，不知有沒有幫助各位理解