数据结构之伸展树
二叉查找樹（Binary Search Tree，也叫二叉排序樹，即Binary Sort Tree）能夠支持多種動態集合操作，它可以用來表示有序集合、建立索引等，因而在實際應用中，二叉排序樹是一種非常重要的數據結構。
從算法復雜度角度考慮，我們知道，作用于二叉查找樹上的基本操作（如查找，插入等）的時間復雜度與樹的高度成正比。對一個含n個節點的完全二叉樹，這些操作的最壞情況運行時間為O(log n)。但如果因為頻繁的刪除和插入操作，導致樹退化成一個n個節點的線性鏈（此時即為一個單鏈表），則這些操作的最壞情況運行時間為O(n)。為了克服以上缺點，很多二叉查找樹的變形出現了，如紅黑樹、AVL樹，Treap樹等。
本文介紹了二叉查找樹的一種改進數據結構–伸展樹（Splay Tree）。它的主要特點是不會保證樹一直是平衡的，但各種操作的平攤時間復雜度是O(log n)，因而，從平攤復雜度上看，二叉查找樹也是一種平衡二叉樹。另外，相比于其他樹狀數據結構（如紅黑樹，AVL樹等），伸展樹的空間要求與編程復雜度要小得多。
2、 基本操作
伸展樹的出發點是這樣的：考慮到局部性原理（剛被訪問的內容下次可能仍會被訪問，查找次數多的內容可能下一次會被訪問），為了使整個查找時間更小，被查頻率高的那些節點應當經常處于靠近樹根的位置。這樣，很容易得想到以下這個方案：每次查找節點之后對樹進行重構，把被查找的節點搬移到樹根，這種自調整形式的二叉查找樹就是伸展樹。每次對伸展樹進行操作后，它均會通過旋轉的方法把被訪問節點旋轉到樹根的位置。
為了將當前被訪問節點旋轉到樹根，我們通常將節點自底向上旋轉，直至該節點成為樹根為止。“旋轉”的巧妙之處就是在不打亂數列中數據大小關系（指中序遍歷結果是全序的）情況下，所有基本操作的平攤復雜度仍為O（log n）。
伸展樹主要有三種旋轉操作，分別為單旋轉，一字形旋轉和之字形旋轉。為了便于解釋，我們假設當前被訪問節點為X，X的父親節點為Y（如果X的父親節點存在），X的祖父節點為Z（如果X的祖父節點存在）。
（1）??? 單旋轉
節點X的父節點Y是根節點。這時，如果X是Y的左孩子，我們進行一次右旋操作；如果X 是Y 的右孩子，則我們進行一次左旋操作。經過旋轉，X成為二叉查找樹T的根節點，調整結束。
（2）??? 一字型旋轉
節點X 的父節點Y不是根節點，Y 的父節點為Z，且X與Y同時是各自父節點的左孩子或者同時是各自父節點的右孩子。這時，我們進行一次左左旋轉操作或者右右旋轉操作。
（3）??? 之字形旋轉
節點X的父節點Y不是根節點，Y的父節點為Z，X與Y中一個是其父節點的左孩子而另一個是其父節點的右孩子。這時，我們進行一次左右旋轉操作或者右左旋轉操作。
3、伸展樹區間操作
在實際應用中，伸展樹的中序遍歷即為我們維護的數列，這就引出一個問題，怎么在伸展樹中表示某個區間？比如我們要提取區間[a,b]，那么我們將a前面一個數對應的結點轉到樹根，將b 后面一個結點對應的結點轉到樹根的右邊，那么根右邊的左子樹就對應了區間[a,b]。原因很簡單，將a 前面一個數對應的結點轉到樹根后， a 及a 后面的數就在根的右子樹上，然后又將b后面一個結點對應的結點轉到樹根的右邊，那么[a,b]這個區間就是下圖中B所示的子樹。
利用區間操作我們可以實現線段樹的一些功能，比如回答對區間的詢問（最大值，最小值等）。具體可以這樣實現，在每個結點記錄關于以這個結點為根的子樹的信息，然后詢問時先提取區間，再直接讀取子樹的相關信息。還可以對區間進行整體修改，這也要用到與線段樹類似的延遲標記技術，即對于每個結點，額外記錄一個或多個標記，表示以這個結點為根的子樹是否被進行了某種操作，并且這種操作影響其子結點的信息值，當進行旋轉和其他一些操作時相應地將標記向下傳遞。
與線段樹相比，伸展樹功能更強大，它能解決以下兩個線段樹不能解決的問題：
（1） 在a后面插入一些數。方法是：首先利用要插入的數構造一棵伸展樹，接著，將a 轉到根，并將a 后面一個數對應的結點轉到根結點的右邊，最后將這棵新的子樹掛到根右子結點的左子結點上。
（2）? 刪除區間[a,b]內的數。首先提取[a,b]區間，直接刪除即可。
4、實現
代碼全部來自【參考資料2】。
（1）旋轉操作
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | // node 為結點類型，其中ch[0]表示左結點指針，ch[1]表示右結點指針 // pre 表示指向父親的指針 // Rotate函數用于（左/右）旋轉x->pre void Rotate(node *x, int d) // 旋轉操作，d=0 表示左旋，d=1 表示右旋 { ??node *y = x->pre; ??Push_Down(y), Push_Down(x); ??// 先將Y 結點的標記向下傳遞（因為Y 在上面），再把X 的標記向下傳遞 ??y->ch[! d] = x->ch[d]; ??if (x->ch[d] != Null) x->ch[d]->pre = y; ??x->pre = y->pre; ??if (y->pre != Null) ??if (y->pre->ch[0] == y) y->pre->ch[0] = x; else y->pre->ch[1] = x; ??x->ch[r] = y, y->pre = x, Update(y); // 維護Y 結點 ??if (y == root) root = x; // root 表示整棵樹的根結點 } |
（2）splay操作
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 | void Splay(node *x, node *f) // Splay 操作，表示把結點x 轉到結點f 的下面 { ??for (Push_Down(x) ; x->pre != f; ) // 一開始就將X 的標記下傳 ??if (x->pre->pre == f) // 父結點的父親即為f，執行單旋轉 ????if (x->pre->ch[0] == x) Rotate(x, 1); else Rotate(x, 0); ??else ??{ ????node *y = x->pre, *z = y->pre; ????if (z->ch[0] == y) ??????if (y->ch[0] == x) ????????Rotate(y, 1), Rotate(x, 1); // 一字形旋轉 ??????else ????????Rotate(x, 0), Rotate(x, 1); // 之字形旋轉 ????else ??????if (y->ch[1] == x) ????????Rotate(y, 0), Rotate(x, 0); // 一字形旋轉 ??????else ????????Rotate(x, 1), Rotate(x, 0); // 之字形旋轉 ??} ??Update(x); // 最后再維護X 結點 } |
（3）將第k個數轉到要求的位置
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 | // 找到處在中序遍歷第k 個結點，并將其旋轉到結點f 的下面 void Select(int k, node *f) { ??int tmp; ??node *t; ??for (t = root; ; ) // 從根結點開始 ??{ ????Push_Down(t); // 由于要訪問t 的子結點，將標記下傳 ????tmp = t->ch[0]->size; // 得到t 左子樹的大小 ????if (k == tmp + 1) break; // 得出t 即為查找結點，退出循環 ????if (k <= tmp) // 第k 個結點在t 左邊，向左走 ??????t = t->ch[0]; ????else // 否則在右邊，而且在右子樹中，這個結點不再是第k 個 ??????k -= tmp + 1, t = t->ch[1]; ??} ??Splay(t, f); // 執行旋轉 } |
5、 應用
（1）???? 數列維護問題
題目：維護一個數列，支持以下幾種操作：
1. 插入：在當前數列第posi 個數字后面插入tot 個數字；若在數列首位插入，則posi 為0。
2. 刪除：從當前數列第posi 個數字開始連續刪除tot 個數字。
3. 修改：從當前數列第posi 個數字開始連續tot 個數字統一修改為c 。
4. 翻轉：取出從當前數列第posi 個數字開始的tot 個數字，翻轉后放入原來的位置。
5. 求和：計算從當前數列第posi 個數字開始連續tot 個數字的和并輸出。
6. 求和最大子序列：求出當前數列中和最大的一段子序列，并輸出最大和。
（2）???? 輕量級web服務器lighttpd中用到數據結構splay tree.
6、 參考資料
（1）???? 楊思雨《伸展樹的基本操作與應用》
（2）???? Crash《運用伸展樹解決數列維護問題》
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總結
