数据结构之Treap
同splay tree一樣，treap也是一個平衡二叉樹，不過Treap會記錄一個額外的數(shù)據(jù)，即優(yōu)先級。Treap在以關(guān)鍵碼構(gòu)成二叉搜索樹的同時，還按優(yōu)先級來滿足堆的性質(zhì)。因而，Treap=tree+heap。這里需要注意的是，Treap并不是二叉堆，二叉堆必須是完全二叉樹，而Treap可以并不一定是。
2. Treap基本操作
為了使Treap 中的節(jié)點同時滿足BST性質(zhì)和最小堆性質(zhì)，不可避免地要對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整方式被稱為旋轉(zhuǎn)。在維護(hù)Treap 的過程中，只有兩種旋轉(zhuǎn)，分別是左旋轉(zhuǎn)(簡稱左旋)和右旋轉(zhuǎn)(簡稱右旋)。
左旋一個子樹，會把它的根節(jié)點旋轉(zhuǎn)到根的左子樹位置，同時根節(jié)點的右子節(jié)點成為子樹的根；右旋一個子樹，會把它的根節(jié)點旋轉(zhuǎn)到根的右子樹位置，同時根節(jié)點的左子節(jié)點成為子樹的根。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 | struct Treap_Node { ??Treap_Node *left,*right; //節(jié)點的左右子樹的指針 ??int value,fix; //節(jié)點的值和優(yōu)先級 }; void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) //左旋 節(jié)點指針一定要傳遞引用 { ??Treap_Node *b=a->right; ??a->right=b->left; ??b->left=a; ??a=b; } void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) //右旋 節(jié)點指針一定要傳遞引用 { ??Treap_Node *b=a->left; ??a->left=b->right; ??b->right=a; ??a=b; } |
3. Treap的操作
同其他樹形結(jié)構(gòu)一樣，treap的基本操作有：查找，插入，刪除等。
3.1??? 查找
同其他二叉樹一樣，treap的查找過程就是二分查找的過程，復(fù)雜度為O(lg n)。
3.2??? 插入
在Treap 中插入元素，與在BST 中插入方法相似。首先找到合適的插入位置，然后建立新的節(jié)點，存儲元素。但是要注意新的節(jié)點會有一個優(yōu)先級屬性，該值可能會破壞堆序，因此我們要根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)。具體方法如下：
1. 從根節(jié)點開始插入；
2. 如果要插入的值小于等于當(dāng)前節(jié)點的值，在當(dāng)前節(jié)點的左子樹中插入，插入后如果左子節(jié)點的優(yōu)先級小于當(dāng)前節(jié)點的優(yōu)先級，對當(dāng)前節(jié)點進(jìn)行右旋；
3. 如果要插入的值大于當(dāng)前節(jié)點的值，在當(dāng)前節(jié)點的右子樹中插入，插入后如果右子節(jié)點的優(yōu)先級小于當(dāng)前節(jié)點的優(yōu)先級，對當(dāng)前節(jié)點進(jìn)行左旋；
4. 如果當(dāng)前節(jié)點為空節(jié)點，在此建立新的節(jié)點，該節(jié)點的值為要插入的值，左右子樹為空，插入成功。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 | Treap_Node *root; void Treap_Insert(Treap_Node *&P,int value) //節(jié)點指針一定要傳遞引用 { ??if (!P) //找到位置，建立節(jié)點 ??{ ????P=new Treap_Node; ????P->value=value; ????P->fix=rand();//生成隨機的修正值 ??} ??else if (value <= P->value) ??{ ????Treap_Insert(P->left,r); ????if (P->left->fix < P->fix) ??????Treap_Right_Rotate(P);//左子節(jié)點修正值小于當(dāng)前節(jié)點修正值，右旋當(dāng)前節(jié)點 ??} ??else ??{ ????Treap_Insert(P->right,r); ????if (P->right->fix < P->fix) ??????Treap_Left_Rotate(P);//右子節(jié)點修正值小于當(dāng)前節(jié)點修正值，左旋當(dāng)前節(jié)點 ??} } |
3.3 ? 刪除
與BST 一樣，在Treap 中刪除元素要考慮多種情況。我們可以按照在BST 中刪除元素同樣的方法來刪除Treap 中的元素，即用它的后繼(或前驅(qū))節(jié)點的值代替它，然后刪除它的后繼(或前驅(qū))節(jié)點。
上述方法期望時間復(fù)雜度為O(logN)，但是這種方法并沒有充分利用Treap 已有的隨機性質(zhì)，而是重新得隨機選取代替節(jié)點。我們給出一種更為通用的刪除方法，這種方法是基于旋轉(zhuǎn)調(diào)整的。首先要在Treap 樹中找到待刪除節(jié)點的位置，然后分情況討論：
情況一，該節(jié)點為葉節(jié)點或鏈節(jié)點，則該節(jié)點是可以直接刪除的節(jié)點。若該節(jié)點有非空子節(jié)點，用非空子節(jié)點代替該節(jié)點的，否則用空節(jié)點代替該節(jié)點，然后刪除該節(jié)點。
情況二，該節(jié)點有兩個非空子節(jié)點。我們的策略是通過旋轉(zhuǎn)，使該節(jié)點變?yōu)榭梢灾苯觿h除的節(jié)點。如果該節(jié)點的左子節(jié)點的優(yōu)先級小于右子節(jié)點的優(yōu)先級，右旋該節(jié)點，使該節(jié)點降為右子樹的根節(jié)點，然后訪問右子樹的根節(jié)點，繼續(xù)討論；反之，左旋該節(jié)點，使該節(jié)點降為左子樹的根節(jié)點，然后訪問左子樹的根節(jié)點，這樣繼續(xù)下去，直到變成可以直接刪除的節(jié)點。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 | BST_Node *root; void Treap_Delete(Treap_Node *&P,int *value) //節(jié)點指針要傳遞引用 { ??if (value==P->value) //找到要刪除的節(jié)點 對其刪除 ??{ ????if (!P->right || !P->left) //情況一，該節(jié)點可以直接被刪除 ????{ ??????Treap_Node *t=P; ??????if (!P->right) ????????P=P->left; //用左子節(jié)點代替它 ??????else ????????P=P->right; //用右子節(jié)點代替它 ??????delete t; //刪除該節(jié)點 ????} ????else //情況二 ????{ ??????if (P->left->fix < P->right->fix) //左子節(jié)點修正值較小，右旋 ??????{ ????????Treap_Right_Rotate(P); ????????Treap_Delete(P->right,r); ??????} ??????else //左子節(jié)點修正值較小，左旋 ??????{ ????????Treap_Left_Rotate(P); ?????????Treap_Delete(P->left,r); ??????} ????} ??} ??else if (value < P->value) ????Treap_Delete(P->left,r); //在左子樹查找要刪除的節(jié)點 ??else ????Treap_Delete(P->right,r); //在右子樹查找要刪除的節(jié)點 } |
4. Treap應(yīng)用
Treap可以解決splay tree可以解決的所有問題，具體參見另一篇博文：《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之伸展樹》
可以這樣定義結(jié)構(gòu)體：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | struct Treap_Node { ??Treap_Node *left,*right; //節(jié)點的左右子樹的指針 ??int value,fix,weight,size; //節(jié)點的值，優(yōu)先級，重復(fù)計數(shù)（記錄相同節(jié)點個數(shù)，節(jié)省空間），子樹大小 ??inline int lsize(){ return left ?left->size ?0; } //返回左子樹的節(jié)點個數(shù) ??inline int rsize(){ return right?right->size?0; } //返回右子樹的節(jié)點個數(shù) }; |
5. 總結(jié)
Treap 作為一種簡潔高效的有序數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在計算機科學(xué)和技術(shù)應(yīng)用中有著重要的地位。它可以用來實現(xiàn)集合、多重集合、字典等容器型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，也可以用來設(shè)計動態(tài)統(tǒng)計數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
6. 參考資料
（1）Treap：http://www.nocow.cn/index.php/Treap
（2）隨機平衡二叉查找樹Treap 的分析與應(yīng)用：http://www.byvoid.com/blog/wp-content/uploads/2010/12/treap-analysis-and-application.pdf
———————————————————————————————-
更多關(guān)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的介紹，請查看：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法匯總
———————————————————————————————-
原創(chuàng)文章，轉(zhuǎn)載請注明：?轉(zhuǎn)載自董的博客
本文鏈接地址:?http://dongxicheng.org/structure/treap/
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数据结构之Treap的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
