数据结构之堆Heap
堆（也叫優(yōu)先隊(duì)列），是一棵完全二叉樹，它的特點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的值大于（小于）兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的值（分別稱為大頂堆和小頂堆）。它常用于管理算法執(zhí)行過(guò)程中的信息，應(yīng)用場(chǎng)景包括堆排序，優(yōu)先隊(duì)列等。
2. 堆的基本操作
堆是一棵完全二叉樹，高度為O（lg n），其基本操作至多與樹的高度成正比。在介紹堆的基本操作之前，先介紹幾個(gè)基本術(shù)語(yǔ)：
A：用于表示堆的數(shù)組，下標(biāo)從1開始，一直到n
PARENT(t)：節(jié)點(diǎn)t的父節(jié)點(diǎn)，即floor(t/2)
RIGHT(t)：節(jié)點(diǎn)t的左孩子節(jié)點(diǎn)，即:2*t
LEFT(t)：節(jié)點(diǎn)t的右孩子節(jié)點(diǎn)，即:2*t+1
HEAP_SIZE(A)：堆A當(dāng)前的元素?cái)?shù)目
下面給出其主要的四個(gè)操作（以大頂堆為例）：
2.1 Heapify(A,n,t)
該操作主要用于維持堆的基本性質(zhì)。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)為根的子樹都已經(jīng)是堆，然后調(diào)整以t為根的子樹，使之成為堆。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | void Heapify(int A[], int n, int t) { ??int left = LEFT(t); ??int right = RIGHT(t); ??int max = t; ??if(left <= n)???? max = A[left] > A[max] ? left : max; ??if(right <= n)???? max = A[right] > A[max] ? right : max; ??if(max != A[t]) ??{ ????swap(A, max, t); ????Heapify(A, n, max); ??} } |
2.2? BuildHeap(A,n)
該操作主要是將數(shù)組A轉(zhuǎn)化成一個(gè)大頂堆。思想是，先找到堆的最后一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)（即為第n/2個(gè)節(jié)點(diǎn)），然后從該節(jié)點(diǎn)開始，從后往前逐個(gè)調(diào)整每個(gè)子樹，使之稱為堆，最終整個(gè)數(shù)組便是一個(gè)堆。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | void BuildHeap(int A[], int n) { ??int i; ??for(i = n/2; i<=n; i++) ??Heapify(A, n, i); } |
2.3 GetMaximum(A,n)
該操作主要是獲取堆中最大的元素，同時(shí)保持堆的基本性質(zhì)。堆的最大元素即為第一個(gè)元素，將其保存下來(lái)，同時(shí)將最后一個(gè)元素放到A[1]位置，之后從上往下調(diào)整A，使之成為一個(gè)堆。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | void GetMaximum(int A[], int n) { ??int max = A[1]; ??A[1] = A[n]; ??n--; ??Heapify(A, n, 1); ??return max; } |
2.4? Insert(A, n, t)
向堆中添加一個(gè)元素t，同時(shí)保持堆的性質(zhì)。算法思想是，將t放到A的最后，然后從該元素開始，自下向上調(diào)整，直至A成為一個(gè)大頂堆。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | void Insert(int A[], int n, int t) { ??n++; ??A[n] = t; ??int p = n; ??while(p >1 && A[PARENT(p)] < t) ??{ ????A[p] = A[PARENT(p)]; ????p = PARENT(p); ??} ??A[p] = t; ??return max; } |
3.? 堆的應(yīng)用
3.1? 堆排序
堆的最常見(jiàn)應(yīng)用是堆排序，時(shí)間復(fù)雜度為O(N lg N)。如果是從小到大排序，用大頂堆；從大到小排序，用小頂堆。
3.2? 在O(n lg k)時(shí)間內(nèi)，將k個(gè)排序表合并成一個(gè)排序表，n為所有有序表中元素個(gè)數(shù)。
【解析】取前100 萬(wàn)個(gè)整數(shù)，構(gòu)造成了一棵數(shù)組方式存儲(chǔ)的具有小頂堆，然后接著依次取下一個(gè)整數(shù)，如果它大于最小元素亦即堆頂元素，則將其賦予堆頂元素，然后用Heapify調(diào)整整個(gè)堆，如此下去，則最后留在堆中的100萬(wàn)個(gè)整數(shù)即為所求 100萬(wàn)個(gè)數(shù)字。該方法可大大節(jié)約內(nèi)存。
3.3 一個(gè)文件中包含了1億個(gè)隨機(jī)整數(shù)，如何快速的找到最大(小)的100萬(wàn)個(gè)數(shù)字?（時(shí)間復(fù)雜度：O（n lg k））
4. 總結(jié)
堆是一種非?；A(chǔ)但很實(shí)用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，很多復(fù)雜算法或者數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)就是堆，因而，了解和掌握堆這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)顯得尤為重要。
5. 參考資料
（1）經(jīng)典算法教程《算法導(dǎo)論》
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更多關(guān)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的介紹，請(qǐng)查看：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法匯總
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總結(jié)
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