§9?代數方程

1．??一元n次代數方程

???

?????其中n為正整數；a_0??, a_1?,…, a_n是屬于數域?S（實數域或復數域）的常數；x為未知數.

?????f(x)稱為一元n次多項式；方程?f(x)=0稱為一元n次代數方程；最高次項系數?a₀稱為首項系數.

設c是一常數，使?f(c)=0 ,?則稱c為多項式?f(x)?或方程?f(x)=0?的根．

代數基本定理????每個復數域上n次代數方程

???????????????

在復數域中至少有一個根．

代數基本定理的推論????每個n次代數方程在復數域中有且只有n個根.

2．??一元二次方程

方程
根的表達式
根與系數關系		?
判別式	???有兩個不等的實根 ???有兩個相等的實根 ?????有兩個復根	???有兩個不等的實根 ???有兩個相等的實根 ???有兩個復根

?

3．??一元三次方程

(1)????方程x³-1=0的三個根

???

(2)????方程x³+px+q=0

(a)????根的表達式

卡爾丹公式：

式中??同（1）

當p<0時，有三個根的三角表達式：

式中??

(b)????根與系數的關系

???

(c)????判別式?

?????，有一個實根和兩個復根.

?????，有三個實根.

當p=q=0時，有一個三重零根；

當???時，三個實根中有兩個相等.

????????????，有三個不等的實根.

(3)????一般三次方程??

上式除以a?，并設???，則方程化為：

然后按（2）的情況處理，得到三個根y₁，y₂，y₃.

則一般三次方程的三個根為：

根與系數的關系：

4．??一元四次方程?

它的四個根與下面兩個方程的四個根完全相同：

??

??

?其中y是三次方程????的任一實根.

§10?指數與對數

1.?指數定義

下面（1）--（3）式中，m、n均為正整數．

（1）aⁿ=?^?(n個a的乘積）；???

?(2)?

?(3)?

?(4)　無理指數冪可用有理指數冪近似表示.

????例如?

2.指數運算法則

（1）

（2）

?(3)

?(4)

?(5)

??式中?a.>0?，?b>0?；???x₁?，x₂?，x?為任意實數．

3.對數定義

若?a^x=b?(a>0 ,?a≠1) ，則x?稱為b?的以a?為底的對數，記作

當a=10時，??，稱為常用對數.

當a=e?時，?，稱為自然對數.

4.對數的性質

（1）

(2)

(3)

(4)

(5)換底公式???????由此可推出：

???（a）???（在換底公式中取c=b）

????(b)?????（在換底公式中取c=10）

5.對數運算法則

(1)?

(2)?

(3)???（x?為任意實數）

§11?復數

1.虛數單位及其乘方

???虛數單位：??????（或記為???）

???虛數單位的乘方：?i¹=i，i²=-1，i³=-i?，i⁴=1

?????????????????i⁴ⁿ⁺¹=?i，i⁴ⁿ⁺²=-1，?i⁴ⁿ⁺³=-?i，?i⁴ⁿ⁺⁴=1???

2.復數的概念

(1)????復數Z一般表示為z=a+ib，其中a?、b均為實數，分別稱為z的實部和虛部，

???? 記為a=Rez?，b=Imz

(2)????兩個復數只有當實部和虛部都相等時才相等．

(3)????復數的模：

(4)????復數的輻角：

一個復數有無窮多個輻角，其中有一個稱為主輻角，記為argz?，它滿足：?.并有關系：

(5)?????互為共軛復數

3.復數的表示法及其相互關系

(1)?坐標表示法

復數z=a+ib?可與平面直角坐標系上的點?（a,b）建立一一對應.(如圖)

?????????

(2)?矢量表示法

???復數?z=a+ib?與矢量?一一對應，?在X ,Y軸上的投影分別為?a?,?b.

(3)?三角表示法

????

(4)?指數表示法

???

4.復數的運算

（1）?代數式運算

?????

（2）?三角式運算

設?

則

注：在??的公式中，令r₁=1，得到德^.莫佛公式：

（3）指數運算

設?，則

??

from:?http://202.113.29.3/nankaisource/mathhands/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等代数（3）：代数方程、指数与对数、复数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。