第三節?向量空間

一．數字概念

定義3.1??設V是n維向量集合，且非空，若

(i)_??則,_??；

(ii)_??則_??。

則稱V是一個向量空間。

定義3.2??設_??是兩個向量空間，若_??，則稱_??的子空間。

定義3.3??設V為向量空間，如果r個向量_??，且滿足

(?i?)?_?線性無關；

(ii)?V中的任一向量都可由_??線性表示，則稱向量組_??是向量空間V的一個基，r稱為向量空間V是維數，并稱V為r維向量空間。

二．原理，公式和法則

等價的向量組所生成的向量空間相等。

把向量空間看作向量組，向量空間的基就是向量組的極大無關組，向量空間的維數就是向量組的秩。

三．重點，難點分析

本節的重點是向量空間的概念和向量空間的基，并把空間中的向量用這個基線性表示；難點是深刻理解向量空間和向量空間基這個抽象的概念，驗證一組向量是向量空間的基，并把空間中的幾個向量用這個基線性表示的解決方法，在此基礎上正確理解向量組等價的概念，兩個非齊次線性方程組同解的問題。

四．典型例題

例?驗證向量組_?

?

?

用這個基線性表示，并判斷_??能否是_??的另一個基。

解：設_??，要證_??的一個基，只須證明A~E即可。對_??施行初等行變換，若A能變成E，則_??的一個基，且當A變成E時，_??變成_??，由于

?????

顯然A~E，故_??的一個基，

且_?

又_??，且與_??等價，故_??也是_??的一個基。

該題也可以先驗證_??或R(A)=3。確定_??是線性無關，由于4個維向量必線性相關。故_??的一個基。若_??由_??線性表示，可以解以_??為方程組的系數矩陣，_??分別為常數項的3個線性方程組。

第四節?線性方程組解的結構

一．數學概念

1.?齊次線性方程組

Ax=0

2.?非齊次線性方程組

??Ax=b???（b?≠?0）

3.?齊次線性方程組的基礎解系

_?是Ax=0的解，滿足

(i)_??線性無關；

(ii)?Ax=0的任何一解都可由_??線性表示。

4.?齊次線性方程組Ax=0的通解

_????????_??

5.?非齊次線性方程組Ax=b的通解

_????

二．原理，公式和法則

1.?n個未知數的齊次方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n。

2.?n個未知數的非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要提哦案件是系數矩陣A的秩等于增廣矩陣B的秩。且當R(A)=R(B)=n時，方程組有唯一解，當R(A)=R(B)=r<n時方程組有無窮多個解。

3.?若_??，?_?為Ax=0的解，則_??也是Ax=0的解。

4.?若_??是Ax=0的解，_??，則_??的解。

5.?若_??，?_?是Ax=b的兩個解，則_??是Ax=0的解。

6.?若_??是Ax=0的解，_??是Ax=b的解，則_??是Ax=b的解。

7.?n元齊次線性方程組_??的全體解所構成的集合S的一個向量空間，當系數矩陣的秩R(A)=r時，解空間是n-r維的。

三．重點，難點分析

本節的重點是討論線性方程組解的結構；齊次線性方程組Ax=0解與其對應的非齊次線性方程組Ax=b的解之間的關系；如何求齊次線性方程組和非齊次線性方程組的通解；真正理解向量組的線性相關性與其所對應的齊次線性方程組有什么樣解的關系；一個向量是否能由一組向量線性表示與其對應的非齊次線性方程組是否有解的關系。難點是如何理解這些關系，和正確解出齊次線性方程組和非齊次線性方程組的通解。

四．典型例題

例1.設線性方程組

?_?

求出方程組的通解；

寫出非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系；

寫出非齊次線性方程組的一個特解。

解：對方程組的增廣矩陣B施行初等行變換得???????

顯然R(A)=R(B)=2<4，所以原方程組有無窮多解，且等價與下面方程組

解得

?_?

故方程組的通解為

_??????_?為任意常數

該方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系為

該方程組的一個特解為

???

解此類題的方法是先對方程組的增廣矩陣施行初等變換，使之變成最簡型矩陣中首非零元1為系數的未知數留在等號的左邊作為非自由的未知量(其個數等于R(A)，其余的未知量移到等號右邊作為自由未知量，其個數等于方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系中解向量的個數)。根據通解的結構，得出方程組的通解。

例2．設向量組

??_??

試問(1)當_??為何值時，β能由_??線性表示，且表示法唯一？

(2)當_??為何值時，β不能由_??線性表示？

(3)當_??為何值時，β能由_??線性表示，且表示法不唯一，并寫出表示試。

解：設_??，使

???

由于????????????????????????????????

_??

①當_??時，β能由_??線性表示，且表示法唯一。

②當_??時

顯然R(A)=2，R(B)=3，方程組無解，即B不能由_??線性表示。

③當_??時???????????????????????????????????

??

??????

顯然R(A)=?R(B)=1<3，方程組有無窮多解。

????

即

_??????

_?為任意常數

故β能由_??線性表示，且

_??????????????_?為任意常數

此類問題將線性表示問題轉化非齊次線性方程組求解問題，按有唯一解、無解和有無窮多解說明β能由_?唯一的線性表示，不能表示，有無窮多組表示法等。

from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第四章 向量组的线性相关性（2）向量空间 线性方程组解的结构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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