第 2 章　三角學回顧

學習微積分必須要了解三角學. 說實話,我們一開始不會看到很多有關三角的內容, 但是當它們出現的時候,并不會讓我們感覺很容易. 因此,我們不妨對三角學中最重要的方面進行一次全面的回顧.

• 用弧度度量的角與三角函數的基本知識;

• 實軸上的三角函數(不只是介于 0°和 90° 的角);

• 三角函數的圖像;

• 三角恒等式.

現在到了刷新記憶的時候了……

2.1　基本知識

首先要提醒的是弧度的概念. 旋轉一周, 我們說成2π?弧度?而不是 360°. 這似乎有點古怪, 但有一個原因,那就是半徑為1個單位的圓的周長是2π個單位. 事實上,這個圓楔形弧長正好是楔角, 如圖2-1所示.

圖　2-1

這幅圖很美觀也很完善,其主旨就是讓我們輕松面對用度和弧度表達的最常見的角. 首先,你應該能夠絕對輕松地想到, 90°和π/2弧度是一樣的.類似地, 180°和π弧度是一樣的, 270°和3π/2弧度是一樣的.一旦你的腦海里已經有了這種想法,那就請試著將圖2-2中所有的角在度與弧度之間反復轉換吧：

圖　2-2

更一般地, 如果需要的話, 你也可以使用公式

用弧度度量的角 =?×用度度量的角.

　例如,要想知道5π/12弧度是多少度, 我們求解下式

×用度計量的角

就會發現5π/12弧度就是(180/π)×(5π/12)=75°. 事實上, 我們可以將弧度和度的轉換一樣. 轉換因數就是π弧度等于180度.

到目前為止, 我們僅僅研究了角, 讓我們繼續來看看三角函數吧.顯然, 我們必須要知道的是如何由三角形來定義三角函數. 假設,我們有一個直角三角形, 除直角外的其余一角被記為θ, 如圖2-3.

圖　2-3

那么, 基本公式為

當然, 如果我們移動角θ, 那么也必須移動其對邊和鄰邊,如圖2-4所示.

圖　2-4

這沒什么大驚小怪的, 對邊就是對著角θ的邊,而鄰邊則是挨著角θ的邊. 盡管如此,斜邊始終保持不變：它是最長的那條邊, 并始終面對直角.

我們也會用到余割,正割和余切這些倒數函數, 其定義如下：

?及?

　如果你想要計劃參加一次微積分的考試(或者即使你沒有這種想法),我的一點建議就是：請熟記常用角0,π/6,π/4,π/3,π/2的三角函數值.例如, 如果不思考,你能化簡sin(π/3)嗎？tan(π/4)又會如何呢？如果你不能,那么, 充其量你是想用三角形來求解, 這只是在浪費時間. 最糟糕的是,你求解過程中總不化簡答案, 這樣就會丟失很多輕松得分點.解決的方法就是要熟記下表：

?

0

sin	0				1
cos	1				0
tan	0		1		★

上表中的星號表示tan(π/2)無定義.事實上, 正切函數在π/2處有一條垂直漸近線(從圖像上看會很清楚,我們將在接下來的2.3節中對此進行研究). 無論如何,你必須能夠熟練地說出該表中的任意一項,不管從前往后說還是從后往前說！這意味著你必須能夠回答兩類問題.下面就是每種類型的例子：

1. sin(π/3)是什么？(使用該表, 答案是. )

2. 介于0和π/2間, 其正弦值為的角是什么？(顯然,答案是π/3. )

當然, 你必須能夠回答該表中的每一項所對應的這兩類問題.就算我請求大家, 請背熟這張表吧！數學不是死記硬背,但有些內容是值得去記憶的, 而這張表一定列在了記憶的名單上. 因此,自己做些卡片, 讓你的朋友來測驗你, 一天花上一分鐘的時間,無論這會對你起到怎樣的作用, 請背熟這張表吧.

2.2　三角函數定義域的擴展

上表(你背熟了嗎？)僅僅包括一些從0到π/2變化的角.事實上我們可以取任意角的正弦或者余弦，哪怕這個角是負的.對于正切函數, 我們一定要更小心些. 例如,上面我們看到的tan(π/2)是無定義的. 盡管如此,我們還是能夠對幾乎每一個負角取正切.

讓我們首先來看看介于0和2π(記住,2π就是360°)間的角吧. 假設,你想要計算sin(θ)(或cos(θ)或tan(θ)), 其中,?θ?是從0到π/2變化的角.為了看得更清楚, 我們先來畫一個帶有一點古怪標記的坐標平面,如圖2-5所示.

圖　2-5

請注意, 坐標軸將平面分成了四個象限, 標記為1到4(以羅馬數字表示的),且標記的走向為逆時針方向. 這些象限分別被稱為第一象限, 第二象限,第三象限和第四象限. 下一步是要畫一條始于原點的射線(就是半直線).那么究竟是哪一條射線呢？這取決于角θ. 來想象一下,你自己站在原點上, 面向x軸的正半軸. 現在沿著逆時針方向轉動θ角, 然后, 沿著一條直線向前走. 你的足跡就是你要找的那條射線了.

現在, 圖2-2中的其他標記就很有意義了. 事實上,如果你轉動了π/2角,你將面對本頁并且你的足跡將勾勒出y軸的正半軸.如果你轉動了π角, 你將得到x軸的負半軸.如果你轉動了3π/2角, 你將得到y軸的負半軸. 最后,如果你轉動了2π角, 那么你又會回到你起始的那個位置,即面向x軸的正半軸. 這就像你根本就沒有轉動一樣！這就是為什么那張圖中會有0≡2π. 對于角度而言, 0和2π是等價的.

好了, 讓我們取某個角θ并以恰當的方式畫出它吧.也許它就在第三象限的某個地方, 如圖2-6所示.

圖　2-6

請注意, 我們將這條射線標記為θ, 而不是這個角本身.不管怎樣, 現在,我們在這條射線上選取某個點并從該點畫一條垂線至x軸.}

我們對三個量感興趣：該點的x坐標和y坐標(當然它們被稱為x和y！),以及該點到原點的距離, 我們稱為r. 注意,x和y可能會同時為負(事實上, 在圖2-6中它們均為負). 然而,r總是正的, 因為它是距離. 事實上, 根據畢達哥拉斯定理(即勾股定理),不管x和y是正還是負, 我們總會有.(平方會消除任何負號, 如圖2-7所示.)

圖　2-7

擁有這三個量, 我們就可以定義如下的三個三角函數了：

?及?

　我們將量x,?y和r分別解釋為鄰邊, 對邊和斜邊,這些恰好就是2.1節中的基本公式了. 先別急,如果你在那條射線上選取了另外一個點, 那會是什么樣子呢？這不要緊,因為你得到的新的三角形和原來的那個三角形是相似的,且上述比值不會受到任何影響. 事實上, 我們假設r=1總會很方便,這樣得到的點(x,?y)會落在所謂的單位圓(就是以原點為中心, 半徑為1的圓)上.

現在,讓我們來看一個例子. 假設, 我們想求sin(7π/6).那么7π/6會在第幾象限呢？我們需要決定7π/6會出現在列表0,π/2, π, 3π/2, 2π的哪個地方. 事實上,7/6大于1但小于3/2, 故7π/6介于π和3π/2之間.事實上, 圖2-8看起來很像上面的例子.

圖　2-8

因此, 角7π/6在第三象限. 我們先是選取了該條射線上的一點,該點至原點的距離r=1, 然后從該點至x軸做了一條垂線.由上述公式我們可知, sin(θ)=y/r=y(因為r=1), 因此, 我們確實要求出y. 好吧, 那個小角,就是介于在7π/6處的射線和x軸的負半軸之間的角(其本身即為π)一定是這兩個角的差,π/6. 這個小角被稱為參考角. 一般來說,θ的參考角是介于表示角?θ的射線和x軸間的最小的角,它必須位于0與之間. 在我們的例子中,到x軸的最短路徑是向上, 所以參考角如圖2-9.

圖　2-9

因此, 在那個小三角形中, 我們知道r=1, 以及角為π/6.我們得出y=sin(π/6)=1/2,不會再有其他的答案了！由于我們在x軸的下方,?y一定為負值.也就是說,?y=-1/2. 因為sin(θ)=y,我們就證明了sin(7π/6)=-1/2. 對于余弦來說,我們也可以重復這個過程,求出. 畢竟,由于點(x,?y)在y軸的左側, 因此x必須為負.這樣我們就證明了?,并且識別出點(x,y)即為點.

2.2.1　ASTC方法

上例中的關鍵是將sin(7π/6)和sin(π/6)聯系起來,其中, π/6是7π/6的參考角. 事實上,并不難看出任意角的正弦就是其參考角正弦的正值或負值！這就使問題的關鍵縮小到兩種可能性上,而且沒有必要再混亂x,?y或r了. 因此, 在我們的例子中,我們只需要求出7π/6的參考角, 即π/6;這就會立即告訴我們sin(7π/6)等于sin(π/6)或-sin(π/6), 并且我們只需要確保我們得到的是正確的結果.我們已經看到結果是負的, 因為y是負的.

事實上, 在第三或第四象限中任意角的正弦必定為負, 因為那里的y為負.類似地, 在第二或第三象限中任意角的余弦必定為負, 由于那里的x為負.正切是比值y/x, 它在第二和第四象限為負(由于x和y中的一個為負,但不全為負), 而在第一和第三象限為正.

讓我們以文字和圖像相結合的方式來總結一下這些研究成果吧. 首先,所有三個函數在第一象限(I)中均為正. 在第二象限(II)中,只有正弦為正;其他兩個函數均為負. 在第三象限(III)中, 只有正切為正;其他兩個函數均為負. 最后, 在第四象限(IV)中, 只有余弦為正;其他兩個函數均為負. 如圖2-10所示.

圖　2-10

事實上, 你只需要記住圖表中的字母ASTC就行了.它們會告訴你在那個象限中哪個函數為正. “A”代表“全部”, 意味著所有的函數在第一象限均為正.顯然, 其余的字母分別代表正弦, 余切和余弦. 在我們的例子中,7π/6在第三象限, 所以只有正切函數在那里為正. 特別地,正弦函數為負,由于我們已經把sin(7π/6)的可能取值縮小到1/2或-1/2了,因此, 結果一定是負的.我們也確實得到了sin(7π/6)=-1/2.

ASTC圖表唯一的問題就是它沒有告訴我們如何處理角0, π/2, π或3π/2, 因為它們都位于坐標軸上. 這種情況下,最好是先忘記所有ASTC的內容,然后以恰當的方式畫一個y=sin(x)(或cos(x),或tan(x))的圖像, 并且從圖像中讀取數值.我們將在2.3節對此進行研究.

　同時,這里有一張ASTC方法的總結表,用來求介于0到2π的角的三角函數的值：

1. 畫出象限圖表, 確定在該圖中你感興趣的角在哪里,然后, 在圖表中標出該角.

2. 如果你想要的角在x或y軸(即沒有在任何象限中)上, 那么,就畫出三角函數的圖像, 從圖像中讀取數值(2.3節有一些例子).

3. 否則, 找出代表我們想要的那個角的射線和x軸間最小的角;這個角被稱為參考角.

4. 如果可以, 使用那張重要的表來求出參考角的三角函數的值.那就是你需要的答案, 或許你還需要在得到的值前面添一個負號.

5. 使用ASTC圖表來決定你是否需要添一個負號.

　讓我們來看一些例子吧. 如何求cos(7π/4)和tan(9π/13)呢？我們一個一個地看.對于cos(7π/4),我們注意到7/4介于3/2和2之間, 故該角必在第四象限,如圖2-11所示.

圖　2-11

為了求出參考角,請注意我們必須向上走到2π(注意！不是到0. ), 因此,參考角就是2π和7π/4的差, 即(2π-7π/4),或簡化為π/4. 所以,cos(7π/4)是正的或負的cos(π/4),根據我們的表cos(π/4)是.到底是正的還是負的呢？ASTC圖表告訴我們, 在第四象限中余弦為正,故結果為正：.

　現在我們來看一下tan(9π/13).我們發現9/13介于1/2和1之間, 故角9π/13在第二象限,如圖2-12所示.

圖　2-12

這一次, 我們需要走到π以到達x軸,故參考角就是π和9π/13的差, 即π-9π/13,或簡化為4π/13. 這樣,我們知道tan(9π/13)是正的或負的tan(4π/13).哎呀, 可是數4π/13沒有在我們的表里面,因此我們不能簡化tan(4π/13). 可我們還是需要確定它是正的還是負的. 那好,ASTC圖表顯示, 在第二象限只有正弦為正, 故正切一定為負, 于是 tan(9π/13)=-tan(4π/13).這就是不使用近似我們可以得到的最簡形式. 在求解微積分問題的時候,我不建議取近似值, 除非題目中有明確要求. 一個常見的誤解是,當你計算如同tan(4π/13)這樣的問題時,由計算器計算出來的數就是正確答案. 相反,那只是一個近似！所以你不應該寫

因為它不正確. 取而代之,我們就寫-tan(4π/13), 除非有特別的要求,讓你做近似. 在那種情況下, 使用約等號和更少的小數位,并化整近似(除非有更多的要求)：

順便說的是, 你應該少用計算器. 事實上,一些大學甚至不允許在考試中使用計算器！因此,你應該盡量避免使用計算器.

2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函數

還有一個問題, 就是如何取大于2π或小于0的角的三角函數. 事實上,這并不太難, 簡單地加上或減去2π的倍數,直到你得到的角在0和2π之間. 你看, 它并不只在2π就停止了.它就是一直在旋轉. 例如, 如果我讓你站在一點面向正東,然后逆時針方向旋轉450度, 那么, 我說你旋轉了一整周,然后又接著旋轉了90度, 這樣也合理. 現在你應該是面向正北. 當然,這要比你只是逆時針方向旋轉了90度感覺更眩暈, 但是,你會面向同樣的方向. 因此, 450度和90度是等價的角,當然這對于弧度來說也是一樣的. 這種情況下,5π/2弧度和π/2弧度是等價的角.但為什么在旋轉一周之后要停下來呢？9π/2弧度又如何呢？這和旋轉2π兩次(這樣我們得到4π),然后再旋轉π/2是一樣的. 因此, 在我們得到最終的π/2之前,我們做了兩周徒勞的旋轉. 旋轉沒有關系,我們再次得到9π/2和π/2等價. 這個過程可以被無限地擴展下去,以得到等價于π/2的角的一個家族：

當然,這其中的每一個角都比第一個角多一個整周旋轉或2π.當然這不是全部. 如果我堅持讓你做所有的逆時針旋轉, 你會感覺眩暈,或許你也會要求做一個或兩個順時針旋轉來恢復神智.這就相當于一個負角. 特別地, 如果你面向東,我讓你逆時針旋轉-270度,對我這個怪異的要求的唯一一致的解釋就是順時針旋轉270度(或3π/2).顯然, 你最終仍然會面向正北, 因此, -270度和90度一定是等價的.確實如此, 我們將360度加到-270度上就會得到90度. 用弧度測量時,我們看到, -3π/2和π/2是等價角. 另外,我們可以堅持更多負的(順時針方向)整周旋轉. 最后,以下這就是等價于π/2的角的完全的集合：

　這個序列沒有開始也沒有結束; 當我說它是“完全的”時,我掩飾了一個事實, 就是在開始和結束的省略號上包含了無窮多個角.我們借助集合符號{π/2+2πn},其中n可以取所有整數, 這樣就可以避免寫這些省略號了.

　讓我們來看一下我們是否可以應用它吧.如何求sec(15π/4)呢？首先,注意到如果我們能夠求出cos(15π/4),我們所要做的就是取其倒數以得到sec(15π/4).因此, 讓我們先來求cos(15π/4).由于15/4大于2, 讓我們先來試著消去2. 這樣, 15/4-2=7/4,現在它介于0和2之間, 這看上去很有希望了. 代入π,我們看到cos(15π/4)和cos(7π/4)是一樣的,并且我們已經求出其結果為. 因此,. 取其倒數,我們發現就是.

圖　2-13

最后,sin(-5π/6)又會如何呢？有很多方法來求解此問題,但上述建議的方法是將2π的倍數加到-5π/6上直到結果是介于0和2π間的.事實上, 2π加上-5π/6得7π/6, 因此,sin(-5π/6)=sin(7π/6),這就是我們已經看到的-1/2. 另外, 我們也可以直接畫圖2-13.

現在, 你必須找出上圖中的參考角,我們并不太難看出它是π/6, 然后繼續之前的過程.

2.3　三角函數的圖像

記住正弦、余弦和正切函數的圖像的樣子確實非常有用. 這些函數都是周期的, 這意味著, 它們從左到右反復地重復自己. 例如,我們考慮y=sin(x).從0到2π的圖像看上去如圖2-14所示.

圖　2-14

你應該能夠不用想就畫出這個圖像, 包括0, π/2, π,3π/2和2π的位置.由于sin(x)每2π單位重復(我們說sin(x)是x的周期函數,其周期為2π), 通過重復樣式, 我們可以對圖像進行擴展, 得到圖2-15.

圖　2-15

　從圖像中讀值,我們看到sin(3π/2)=-1及sin(-π)=0.正如之前注意到的, 這就是你應該如何去應對π/2的倍數的問題;我們不需要混亂參考角了. 另一個值得注意的是,該圖像關于原點有 180°點對稱, 這意味著,sin(x)是x的奇函數.(我們在1.4節中分析了奇偶函數.)

y=cos(x)的圖像和y=sin(x)的圖像類似.當x在從0到2π上變化時,它看起來就像圖2-16.

圖　2-16

現在,利用cos(x)是周期函數及其周期為2π這一事實,我們對該圖像進行擴展, 得到圖2-17.

圖　2-17

例如, 如果你想要求cos(π), 從圖像上讀取,你會看到結果是-1. 此外, 注意到, 這次該圖像關于y軸有鏡面對稱.這說明, cos(x)是x的偶函數.

現在,?y=tan(x)略有不同.最好是先畫出圖像, 其中x介于-π/2和π/2之間, 如圖2-18.

圖　2-18

和正弦函數與余弦函數不同的是, 正切函數有垂直漸近線. 此外,它的周期是π, 而不是2π. 因此,上述圖樣可以被重復以便得到y=tan(x)的全部圖像,如圖2-19所示.

圖　2-19

很明顯, 當x是π/2的奇數倍數時,y=tan(x)有垂直漸近線(是無定義的). 此外,圖像的對稱性表明, tan(x)是x的奇函數.

y=sec(x),y=csc(x)及y=cot(x)的函數圖像也值得我們去學習,如圖2-20、圖2-21、圖2-22所示.

圖　2-20

圖　2-21

圖　2-22

從它們的圖像中, 我們可以得到所有六個基本三角函數的對稱性的性質,這些都值得學習.

sin(x),tan(x),cot(x) 及 csc(x)都是x的奇函數. cos(x)和sec(x)都是x的偶函數.

因此, 對于所有的實數x,我們有sin(-x)=-sin(x),tan(-x)=-tan(x)及cos(-x)=cos(x).

2.4　三角恒等式

三角函數間的關系用來十分方便. 首先,注意到正切和余切可以由正弦和余弦來表示, 如下：

(有時,根據這些恒等式用正弦和余弦來代替正切和余切會有幫助, 但事實上,你不應該這樣做, 除非你真的遇上麻煩了.)

所有三角恒等式中最重要的就是畢達哥拉斯定理了(用三角形式表示的),

這對于任意的x都成立.(為什么是畢達哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜邊是1,其中一個角為x, 自己要弄明白三角形的其他兩條邊長就是cos(x)和sin(x).)

　現在,讓這個等式兩邊同除以cos2(x).我想讓你檢驗一下是否能夠得到以下結果：

該公式也會經常出現在微積分里. 另外,可以將畢達哥拉斯定理等式兩邊同除以sin2(x),我們得到下列等式：

這個公式好像沒有其他公式使用得那么頻繁.

還有一些更多的三角函數關系. 你注意到了嗎,一些函數的名字是以符號“co”開頭的. 這是“互余”的簡稱.說兩個角互余意味著它們的和是π/2(或90度).這不是說它們對對方很好. 撇開所有的雙關語, 事實是,我們有以下一般關系：

三角函數(x)=互余三角函數.

特別地, 我們有：

?及

當三角函數已經互余的時候, 以上公式也適用;你只需要認識到, 余角的余角就是原始的角！例如, co-co-sin 事實上就是sin, co-co-tan 事實上就是tan.基本上這意味著我們也可以這樣說：

?及

最后, 還有一組恒等式值得我們學習.這些恒等式涉及了角的和與倍角公式.特別地, 我們應該記住下列公式：

請記住,你可以切換所有的正號和負號得到一些相關的公式,這對我們也很有幫助：

對于上述加框公式中的sin(A?+?B)和cos(A?+?B), 令A?=?B?=?x,我們就會得到一個很好的結果. 很明顯, 正弦公式是sin(2x) = 2sin(x)cos(x). 但是,讓我們來好好看看余弦公式. 它會變成cos(2x) = cos2(x) - sin2(x); 這沒錯,但是更有用的是使用畢達哥拉斯定理sin2(x) + cos2(x) = 1 將cos(2x)表示成為2cos2(x) - 1或1 - 2sin2(x)(相信這些都是有效的！). 總之, 倍角公式為：

　那么,你如何用sin(x)和cos(x)來表示sin(4x)呢？好吧,我們可以將4x看作二倍的2x, 并且使用正弦恒等式, 寫作sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x).然后, 應用恒等式來求, 得到：

類似地,

你不用記這后兩個公式; 然而,你要確保理解了如何使用倍角公式來推導它們.

現在, 如果你可以掌握本章涉及的所有的三角學,你就能夠很好地去學習本書的剩余部分了. 因此,抓緊時間消化這些知識吧. 做一些例題,并確保你記住了那張很重要的表格和所有加框公式.

from:?http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2310

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本：第 2 章　三角学回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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