題目：二叉樹的結(jié)點定義如下：

struct?TreeNode

{

????int?m_nvalue;

????TreeNode* m_pLeft;

????TreeNode* m_pRight;

};

輸入二叉樹中的兩個結(jié)點，輸出這兩個結(jié)點在數(shù)中最低的共同父結(jié)點。

分析：求數(shù)中兩個結(jié)點的最低共同結(jié)點是面試中經(jīng)常出現(xiàn)的一個問題。這個問題至少有兩個變種。

第一變種是二叉樹是一種特殊的二叉樹：查找二叉樹。也就是樹是排序過的，位于左子樹上的結(jié)點都比父結(jié)點小，而位于右子樹的結(jié)點都比父結(jié)點大。我們只需要從根結(jié)點開始和兩個結(jié)點進(jìn)行比較。如果當(dāng)前結(jié)點的值比兩個結(jié)點都大，則最低的共同父結(jié)點一定在當(dāng)前結(jié)點的左子樹中。如果當(dāng)前結(jié)點的值比兩個結(jié)點都小，則最低的共同父結(jié)點一定在當(dāng)前結(jié)點的右子樹中。

第二個變種是樹不一定是二叉樹，每個結(jié)點都有一個指針指向它的父結(jié)點。于是我們可以從任何一個結(jié)點出發(fā)，得到一個到達(dá)樹根結(jié)點的單向鏈表。因此這個問題轉(zhuǎn)換為兩個單向鏈表的第一個公共結(jié)點。我們在本面試題系列的第35題討論了這個問題。

現(xiàn)在我們回到這個問題本身。所謂共同的父結(jié)點，就是兩個結(jié)點都出現(xiàn)在這個結(jié)點的子樹中。因此我們可以定義一函數(shù)，來判斷一個結(jié)點的子樹中是不是包含了另外一個結(jié)點。這不是件很難的事，我們可以用遞歸的方法來實現(xiàn)：

/ // If the tree with head pHead has a node pNode, return true. // Otherwise return false. / bool HasNode(TreeNode* pHead, TreeNode* pNode) {if(pHead == pNode)return true;bool has = false;if(pHead->m_pLeft != NULL)has = HasNode(pHead->m_pLeft, pNode);if(!has && pHead->m_pRight != NULL)has = HasNode(pHead->m_pRight, pNode);return has; }

我們可以從根結(jié)點開始，判斷以當(dāng)前結(jié)點為根的樹中左右子樹是不是包含我們要找的兩個結(jié)點。如果兩個結(jié)點都出現(xiàn)在它的左子樹中，那最低的共同父結(jié)點也出現(xiàn)在它的左子樹中。如果兩個結(jié)點都出現(xiàn)在它的右子樹中，那最低的共同父結(jié)點也出現(xiàn)在它的右子樹中。如果兩個結(jié)點一個出現(xiàn)在左子樹中，一個出現(xiàn)在右子樹中，那當(dāng)前的結(jié)點就是最低的共同父結(jié)點。基于這個思路，我們可以寫出如下代碼：

/ // Find the last parent of pNode1 and pNode2 in a tree with head pHead / TreeNode* LastCommonParent_1(TreeNode* pHead, TreeNode* pNode1, TreeNode* pNode2) {if(pHead == NULL || pNode1 == NULL || pNode2 == NULL)return NULL;// check whether left child has pNode1 and pNode2bool leftHasNode1 = false;bool leftHasNode2 = false;if(pHead->m_pLeft != NULL){leftHasNode1 = HasNode(pHead->m_pLeft, pNode1);leftHasNode2 = HasNode(pHead->m_pLeft, pNode2);}if(leftHasNode1 && leftHasNode2){if(pHead->m_pLeft == pNode1 || pHead->m_pLeft == pNode2)return pHead;return LastCommonParent_1(pHead->m_pLeft, pNode1, pNode2);}// check whether right child has pNode1 and pNode2bool rightHasNode1 = false;bool rightHasNode2 = false;if(pHead->m_pRight != NULL){if(!leftHasNode1)rightHasNode1 = HasNode(pHead->m_pRight, pNode1);if(!leftHasNode2)rightHasNode2 = HasNode(pHead->m_pRight, pNode2);}if(rightHasNode1 && rightHasNode2){if(pHead->m_pRight == pNode1 || pHead->m_pRight == pNode2)return pHead;return LastCommonParent_1(pHead->m_pRight, pNode1, pNode2);}if((leftHasNode1 && rightHasNode2)|| (leftHasNode2 && rightHasNode1))return pHead;return NULL; }

接著我們來分析一下這個方法的效率。函數(shù)HasNode的本質(zhì)就是遍歷一棵樹，其時間復(fù)雜度是O(n)（n是樹中結(jié)點的數(shù)目）。由于我們根結(jié)點開始，要對每個結(jié)點調(diào)用函數(shù)HasNode。因此總的時間復(fù)雜度是O(n²)。

我們仔細(xì)分析上述代碼，不難發(fā)現(xiàn)我們判斷以一個結(jié)點為根的樹是否含有某個結(jié)點時，需要遍歷樹的每個結(jié)點。接下來我們判斷左子結(jié)點或者右結(jié)點為根的樹中是否含有要找結(jié)點，仍然需要遍歷。第二次遍歷的操作其實在前面的第一次遍歷都做過了。由于存在重復(fù)的遍歷，本方法在時間效率上肯定不是最好的。

前面我們提過如果結(jié)點中有一個指向父結(jié)點的指針，我們可以把問題轉(zhuǎn)化為求兩個鏈表的共同結(jié)點。現(xiàn)在我們可以想辦法得到這個鏈表。我們在本面試題系列的第4題中分析過如何得到一條中根結(jié)點開始的路徑。我們在這里稍作變化即可：

/ // Get the path form pHead and pNode in a tree with head pHead / bool GetNodePath(TreeNode* pHead, TreeNode* pNode, std::list<TreeNode*>& path) {if(pHead == pNode)return true;path.push_back(pHead);bool found = false;if(pHead->m_pLeft != NULL)found = GetNodePath(pHead->m_pLeft, pNode, path);if(!found && pHead->m_pRight)found = GetNodePath(pHead->m_pRight, pNode, path);if(!found)path.pop_back();return found; }

由于這個路徑是從跟結(jié)點開始的。最低的共同父結(jié)點就是路徑中的最后一個共同結(jié)點：

/ // Get the last common Node in two lists: path1 and path2 / TreeNode* LastCommonNode (const std::list<TreeNode*>& path1,const std::list<TreeNode*>& path2 ) {std::list<TreeNode*>::const_iterator iterator1 = path1.begin();std::list<TreeNode*>::const_iterator iterator2 = path2.begin();TreeNode* pLast = NULL;while(iterator1 != path1.end() && iterator2 != path2.end()){if(*iterator1 == *iterator2)pLast = *iterator1;iterator1++;iterator2++;}return pLast; }

有了前面兩個子函數(shù)之后，求兩個結(jié)點的最低共同父結(jié)點就很容易了。我們先求出從根結(jié)點出發(fā)到兩個結(jié)點的兩條路徑，再求出兩條路徑的最后一個共同結(jié)點。代碼如下：

/ // Find the last parent of pNode1 and pNode2 in a tree with head pHead / TreeNode* LastCommonParent_2(TreeNode* pHead, TreeNode* pNode1, TreeNode* pNode2) {if(pHead == NULL || pNode1 == NULL || pNode2 == NULL)return NULL;std::list<TreeNode*> path1;GetNodePath(pHead, pNode1, path1);std::list<TreeNode*> path2;GetNodePath(pHead, pNode2, path2);return LastCommonNode(path1, path2); }

這種思路的時間復(fù)雜度是O(n)，時間效率要比第一種方法好很多。但同時我們也要注意到，這種思路需要兩個鏈表來保存路徑，空間效率比不上第一個方法。

本文已經(jīng)收錄到《劍指Offer——名企面試官精講典型編程題》一書中，有改動，書中的分析講解更加詳細(xì)。歡迎關(guān)注。

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總結(jié)

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