上一篇博文講到：《方程AX=b的解的討論（特解、通解、零空間向量等概念）及其MATLAB實現(xiàn)》，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）來解方程。

但實際上運行過程中我們會遇到：當AX=b線性方程組是一個病態(tài)方程組；或者A是奇異矩陣（即det(A)=0，不可逆），沒法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此時MATLAB會報錯“矩陣接近奇異值，或者縮放錯誤。結(jié)果可能不準確”…網(wǎng)絡(luò)上很多人問這個問題怎么解決，其實不是MATLAB的問題，而是MATLAB內(nèi)置算法的魯棒性問題，直接用A\b方法無法處理這個棘手的問題。如果沒有矩陣論或數(shù)值計算方法基礎(chǔ)的同學可能會一頭霧水。本文借用Moore-Penrose廣義逆來解決這個問題，幫助大家理解帶奇異矩陣的病態(tài)方程組如何解決。

首先我們先來看下mldivide, \在MATLAB中的含義：

也就是說，A\b的方法是可以求包含奇異矩陣的方程組的，但是可能會出錯。而且錯誤可能非常離譜。（這個例子告誡我們，不要以為MATLAB算出來的結(jié)果都是準確的，MATLAB也不過是調(diào)用一些算法進行運算，每個算法都可能存在一些缺陷，無法處理某些極端的情況）。大家可以看一下它內(nèi)置算法原理：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/mldivide_full_zh_CN.png

這里就涉及到數(shù)值計算方法領(lǐng)域矩陣的性態(tài)的問題了。我們可以直觀來感受一下：

假設(shè)如下方程組：

其精確解是(1,1)。

若對左右邊都做一些非常非常微小的變化：

其精確解變?yōu)?#xff1a;(10,-2)。

一個非常非常微小的擾動就讓方程的解產(chǎn)生巨大的變動，我們稱上述方程組是病態(tài)方程組，系數(shù)矩陣A是病態(tài)矩陣。

如果我們遇到不是方陣的矩陣，或者不能求逆的方陣，要想求解AX=b，避免奇異值導致MATLAB產(chǎn)生錯誤的情況，我們可以采用“偽逆”來幫助我們解決這個問題。

廣義逆矩陣：

對任意一個矩陣A，提出四個條件：

如果存在矩陣G滿足上述的一部分或全部條件，G就可以稱為A的廣義逆矩陣。最常用的四種廣義逆矩陣定義如下：

MATLAB中自帶的pinv方法，就可以求矩陣的M-P廣義逆，即A+矩陣。官方文檔：

https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/pinv.html?searchHighlight=pinv&s_tid=doc_srchtitle

大家可以查閱官方文檔看具體應(yīng)用實例。

如果我們求出A+，就可以有另一種思路來解AX=b了：

這里，通解的表達式還是類似于X=X*+X0的形式，A+b相當于是特解，后面那一項就是帶系數(shù)的自由解，y可以取任意數(shù)，注意維度匹配即可。

所以，大家調(diào)用pinv求出M-P廣義逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y這個式子構(gòu)造出通解就可以啦！
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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