Algorithm：樹相關算法(BBT/BST/B樹/R樹)簡介(二叉查找樹、二叉查找樹的插入節點、二叉查找樹的刪除、二叉樹的遍歷、平衡二叉樹)C++語言實現

目錄

樹的基礎知識

1、二叉樹的遍—前序、中序、后序

一、二叉樹

1、CBT

2、BST—二叉查找樹BST的增刪改查

1、BST的查找節點

2、BST的插入節點

3、BST的刪除節點

3、BBT—平衡二叉樹BBT→AVL/RBT

0、RBT紅黑樹和AVL

1、BBT的旋轉

2、BBT的插入

3、BBT的查找

4、BBT的刪除

4、堆

5、哈夫曼樹HT/最優二叉樹

二、多路查找樹：多叉樹——二叉到多叉的思考

1、多叉樹

1、多叉樹的查找與插入

2、B樹及其變種——分裂節點、合并節點

3、R樹—R樹在實踐中的應用

樹相關算法的代碼實現

1、二叉樹的遍歷——前中后、通過前中求后

2、二叉查找樹、BST的插入節點、BST的刪除

3、BBT單旋轉、雙旋轉、BBT的插入、BBT的刪除

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參考文章：Algorithm：【Algorithm算法進階之路】之數據結構基礎知識

樹的基礎知識

? ? ? ?樹Tree是一種抽象數據類型ADT，或是實作這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關系的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

• (1)、每個節點有零個或多個子節點；
• (2)、沒有父節點的節點稱為根節點；
• (3)、每一個非根節點有且只有一個父節點；
• (4)、除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；

1、二叉樹的遍—前序、中序、后序

二叉樹的遍歷，都要從先從左區域開始遍歷。

1、前序遍歷、中序遍歷、后序遍歷
注：根結點Degree、左子樹L、右子樹R
先(根)序遍歷(根左右DLR)：
中(根)序遍歷(左根右LDR)：BST的中序一定是遞增有序的序列！
后(根)序遍歷(左右根LRD)：
結論：
(1)、二叉樹結點的DLR、LDR、LRD中，所有葉子結點的先后順序都是一致的，因為所有的葉節點都是從左到右的！

前序遍歷：先(根)序遍歷，根左右DLR 根節點→前序遍歷左子樹(DLR)→前序遍歷右子樹(DLR)
中序遍歷：中(根)序遍歷，左根右LDR。BST的中序一定是遞增有序的序列！ 中序遍歷左子樹(LDR)→根節點→中序遍歷右子樹(LDR) (1)、比如35是因為3就是節點5的左子數；67是因為7是6的右子樹，所以先遍歷6的左子樹即空→根節點6→右子樹7
后序遍歷：后(根)序遍歷，左右根LRD 后序遍歷左子樹(LRD)→后序遍歷右子樹(LRD)→根節點

2、相關結論
(1)、二叉樹結點的DLR、LDR、LRD中，所有葉子結點的先后順序都是一致的，因為所有的葉節點都是從左區域到右區域的！

3、問題類型
(1)、通過前序中序求后序

Algorithm：【Algorithm算法進階之路】之數據結構(數組、字符串、鏈表、棧、隊列、樹、圖、哈希、堆)相關習題

一、二叉樹

1、CBT—FBT一定是CBT

參考文章：Algorithm：【Algorithm算法進階之路】之數據結構基礎知識

2、BST—二叉查找樹BST的增刪改查

1、BST的查找節點

查找某節點p的過程如下：

• n 將當前節點cur賦值為根節點root；
• n 若p的值小于當前節點cur的值，查找cur的左子樹；
• n 若p的值不小于當前節點cur的值，查找cur的右子樹；
• n 遞歸上述過程，直到cur的值等于p的值或者cur為空；
• o 當然，若節點是結構體，注意定義“小于”“不小于”“等于”的具體函數。

2、BST的插入節點

原理要符合二叉樹的建立。

• n若當前的二叉查找樹為空，則插入的元素為根節點，
• n若插入的元素值小于根節點值，則將元素插入到左子樹中，
• n若插入的元素值不小于根節點值，則將元素插入到右子樹中，
• n遞歸上述過程，直到找到插入點為葉子節點。

3、BST的刪除節點

記待刪除的節點為p，分三種情況進行處理

• 待刪除點為葉子節點：p為葉子節點，直接刪除該節點，再修改p的父節點的指針
• 待刪除點只有一個孩子：若p為單支節點（即只有左子樹或右子樹），則將p的子樹與p的父親節點相連，刪除p即可。
• 待刪除點只有一個孩子：若p的左子樹和右子樹均不空，則找到p的直接后繼d(p的右孩子的最左子孫)，因為d一定沒有左子樹，所以使用刪除單支節點的方法：刪除d，并讓d的父親節點dp成為d的右子樹的父親節點；同時，用d的值代替p的值；

(1)、對偶的，可以找到p的直接前驅x(p的左孩子的最右子孫)，x一定沒有右子樹，所以可以刪除x，并讓x的父親節點成為x的左子樹的父親節點。

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3、BBT—平衡二叉樹BBT→AVL/RBT

? ? ? ? 平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）是二叉查找樹的一個變體，也是第一個引入平衡概念的二叉樹。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和E.M. Landis發明了這棵樹，所以它又叫AVL樹。
? ? ? ? 平衡二叉樹要求對于每一個節點來說，它的左右子樹的高度之差不能超過1，如果插入或者刪除一個節點使得高度之差大于1，就要進行節點之間的旋轉，將二叉樹重新維持在一個平衡狀態。這個方案很好的解決了二叉查找BST樹退化成鏈表的問題，把插入、查找、刪除的時間復雜度最好情況和最壞情況都維持在O(logN)。

1、BBT的動機

? ? ? ? 對一棵查找樹（search tree）進行查詢/新增/刪除 等動作, 所花的時間與樹的高度h 成比例, 并不與樹的容量 n 成比例。如果可以讓樹維持矮矮胖胖的好身材, 也就是讓h維持在O(lg n)左右, 完成上述工作就很省時間。能夠一直維持好身材, 不因新增刪除而長歪的搜尋樹, 叫做balanced search tree（平衡樹）。

2、BBT的特點：

• BBT是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。
• BBT常用算法有紅黑樹、AVL、Treap、伸展樹、SBT等。
• 最小BBT的節點的公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1，這個類似于一個遞歸的數列，可以參考Fibonacci數列，1是根節點，F(n-1)是左子樹的節點數量，F(n-2)是右子樹的節點數量。

0、AVL和RBT紅黑樹

0、AVL和紅黑樹對比

• 兩者都屬于自平衡二叉樹。
• 兩者查找,插入，刪除的時間復雜度相同。

1、AVL樹—可理解為BBT

? ? ? ? ? AVL樹查找的時間復雜度為O(logN)，因為樹一定是平衡的。但是由于插入或刪除一個節點時需要掃描兩趟樹，依次向下查找插入點，依次向上平衡樹，AVL樹不如紅黑樹效率高，也不如紅黑樹常用。

• AVL樹是平衡二叉搜索樹的鼻祖：AVL樹是最先發明的自平衡二叉查 找樹。

AVL樹有兩個性質	它或者是一顆空二叉樹，或者是具有下列性質的二叉樹： (1)、其根的左右子樹，高度之差的絕對值不能超過1； (2)、其根的左右子樹，都是二叉平衡樹。
AVL應用	1、Windows NT內核中廣泛存在。

2、紅黑樹

? ? ? ? 紅黑樹的平衡是在插入和刪除的過程中取得的。對一個要插入的數據項，插入程序要檢查不會破壞樹一定的特征。如果破壞了，程序就會進行糾正，根據需要更改樹的結構。通過維持樹的特征，保持了樹的平衡。

• 紅黑樹 并不追求“完全平衡 ”：它只要求部分地達到平衡要求，降低了對旋轉的要求，從而提高了性能。
• 紅黑樹能夠以?O(log2?n)??的時間復雜度進行搜索、插入、刪除操作。
• 任何不平衡都會在三次旋轉之內解決。

紅黑樹有兩個特征	1、節點都有顏色 2、在插入和刪除過程中，要遵循保持這些顏色的不同排列的規則。
紅黑規則	1、每一個節點不是紅色的就是黑色的。 2、根總是黑色的 3、如果節點是紅色的，則它的子節點必須是黑色的（反之不一定成立）。 4、從根到葉節點或空子節點的每條路徑，必須包含相同數目的黑色節點。 ? ?（空子節點是指非葉節點可以接子節點的位置。換句話說，就是一個有右子節點的節點可能接左子節點的位置，或是有左子節點的節點可能接右子節點的位置）
紅黑樹的應用	1、廣泛用于C++的STL中,map和set都是用紅黑樹實現的。 (1)、JDK的TreeMap是一個紅黑樹的實現，能保證插入的值保證排序。 2、IO多路復用epoll的實現采用紅黑樹組織管理sockfd，以支持快速的增刪改查。

1、BBT的旋轉

高度不平衡節點的兩顆子樹的高度差2，只考慮該不平衡節點本身，分四種情況分別討論。
(1)、四種分類：左左、左右、右左、右右；
(2)、四種旋轉：對稱與旋轉，左左和右右對稱；左右和右左對稱
左左和右右兩種情況是對稱的，這兩種情況的旋轉算法是一致的，只需要經過一次旋轉就可以達到目標，稱之為單旋轉。
左右和右左兩種情況也是對稱的，這兩種情況的旋轉算法也是一致的，需要進行兩次旋轉，稱之為雙旋轉。

a、高度不平衡之左左 6節點的左子樹3節點高度比右子樹7節點大2，左子樹3節點的左子樹1節點高度大于右子樹4節點，這種情況成為左左。

b、高度不平衡之左右 6節點的左子樹2節點高度比右子樹7節點大2，左子樹2節點的左子樹1節點高度小于右子樹4節點，這種情況成為左右。

c、高度不平衡之右左 2節點的左子樹1節點高度比右子樹5節點小2，右子樹5節點的左子樹3節點高度大于右子樹6節點，這種情況成為右左。

d、高度不平衡4之右右 2節點的左子樹1節點高度比右子樹4節點小2，右子樹4節點的左子樹3節點高度小于右子樹6節點，這種情況成為右右。

(1)、BBT的左左—單旋轉 如圖，假設K2不平衡：為使樹恢復平衡，把K1變成根節點。K2大于K1，所以，把K2置于K1的右子樹上。K1右子樹Y大于K1，小于K2，所以，把Y置于k2的左子樹上。 左旋：就是讓左邊的孩子K1去提到上邊，升級作為爸爸，自己K2變成兒子。

(2)、BBT的左右雙旋轉 對于左右和右左這兩種情況，單旋轉不能使它達到一個平衡狀態，要經過兩次旋轉。 以左右為例：節點K3不滿足平衡特性，它的左子樹K1比右子樹D深2層，且K1子樹更深的是右子樹K2。

2、BBT的插入

? ? ? ?BBT插入的方法和BST基本一致。區別是，插入完成后需要從插入的節點開始，維護一個到根節點的路徑，每經過一個節點都要維持樹的平衡。維持樹的平衡要根據高度差的特點選擇不同的旋轉算法。

3、BBT的查找

? ? ? ?BBT查找的方法和BST完全一樣。不過根據高度基本平衡存儲的特性，BBT能保持O(logN)的穩定時間復雜度，而BST則相當不穩定。

4、BBT的刪除

? ? ? ?BBT刪除的方法和BST基本一致。區別是，刪除完成后，需要從刪除節點的父親開始，向上維護樹的平衡一直到根節點。

4、堆

5、哈夫曼樹HT/最優二叉樹

二、多路查找樹：多叉樹——二叉到多叉的思考

1、多叉樹

一個節點存一個值，則有2個孩子：W
一個節點存兩個值，則有3個孩子：MO
一個節點存三個值，則有4個孩子：MO

1、多叉樹的查找與插入

2、B樹及其變種——分裂節點、合并節點

1、B樹的定義——m階B樹需要滿足的條件

• (1)、每個結點至多有m個孩子；
• (2)、除根結點外，其他結點至少有m/2個孩子；
• (3)、根結點至少有2個孩子；
• (4)、所有葉結點在同一層；
• (5)、有α個孩子的非葉結點有α-1個關鍵字；結點內部，關鍵字遞增排列。

2、B樹的變種

3、R樹—R樹在實踐中的應用

樹相關算法的代碼實現

1、二叉樹的遍歷——前中后、通過前中求后

(1)、前序遍

(2)、中序遍歷

(3)、后序遍歷

(4)、T2、通過前序中序求后序

2、二叉查找樹、BST的插入節點、BST的刪除

(2)、二叉查找樹插入節點

(3)、二叉查找樹BST的刪除

3、BBT單旋轉、雙旋轉、BBT的插入、BBT的刪除

(1)、左左單旋轉

(2)、雙旋轉

(3)、平衡二叉樹的插入

(4)、平衡二叉樹的刪除

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Algorithm：树相关算法(BBT/BST/B树/R树)简介(二叉查找树、二叉查找树的插入节点、二叉查找树的删除、二叉树的遍历、平衡二叉树)C 语言实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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