包含平移的線性變換稱作仿射變換，3D中的仿射變換不能用 3 x 3 矩陣表達，必須使用4 x 4矩陣。

一般來說，變換物體相當于以相反的量變換描述這個物體的坐標系。當有多個變換時，則需要以相反的順序變換相反的量。例如，將物體順時針旋轉20度，擴大200%，等價于將坐標系縮小200%，再逆時針旋轉20度。

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2D中的旋轉

在2D環(huán)境中，物體只能繞某個點旋轉，因為現(xiàn)在暫不考慮平移。這里我們進一步限制物體，使其只繞原點旋轉。2D中繞原點的旋轉只有一個參數(shù)，角度θ，它描述了旋轉量。逆時針旋轉經(jīng)常（不是必須）被認為是正方向，順時針方向是負方向。圖8.5展示了基向量p，q繞原點旋轉，得到新的基向量p'，q'。

現(xiàn)在我們知道了旋轉后基向量的值，就可以以公式8.1的形式構造矩陣如下：

3D中繞坐標軸的旋轉

在3D場景中，繞軸旋轉而不是點（此時軸指的是旋轉所繞的直線，不一定是笛卡爾坐標軸x，y，z）。再次聲明，這里暫不考慮平移，所以只討論旋轉軸穿過原點的情況。

繞軸旋轉角度θ時，必須知道哪個方向被認為“正”，哪個方向被認為“負”，左手坐標系中定義此方向的規(guī)則為左手法則。首先，要明確旋轉軸指向哪個方向。當然，旋轉軸在理論上是無限延伸的，但我們還是要認為它有正端點和負端點。與笛卡爾坐標軸定義坐標系相同，左手法則是這樣的:伸出左手，大拇指向上，其余手指彎曲。大拇指指向旋轉軸的正方向，此時，四指彎曲的方向就是旋轉的正方向。如圖8.6所示。

如果用的是右手坐標系，也有類似的法則，不過是用右手代替左手，如圖8.7所示：

圖8.8顯示了另一種正方向的定義：

最為常見的旋轉是繞某坐標軸的簡單旋轉，讓我們從繞x軸旋轉開始，如圖8.9所示：

求出旋轉后的基向量，可以得到矩陣，見公式8.2。

Rotation about the y-axis is similar:

The matrix to rotate about the y-axis:

Finally, rotating about the z-axis:

?

3D中繞任意軸的旋轉

當然也能繞3D中的任意軸旋轉。因為這里不考慮平移，可以假設旋轉軸通過原點，這種旋轉比繞坐標軸的旋轉更復雜也更少見。用單位向量n描述旋轉軸，和前面一樣用θ描述旋轉量。

讓我們導出繞軸n旋轉角度θ的矩陣，也就是說，我們想得到滿足下面條件的矩陣?R(n, θ)：

vR(n, θ) =?v'

v'是向量v繞軸n旋轉后的向量。讓我們看看能否用v，n和θ表示v'。我們的想法是在垂直于n的平面中解決這個問題，那么這就轉換為了一個簡單的2D問題。為了做到這一點，將v分解為兩個分量：v||和v⊥，分別平行于n和垂直于n，并有v?=?v|| + v⊥。因為v||平行于n，所以繞n旋轉不會影響它。故只要計算出v⊥繞n旋轉后的?v⊥'，就能得到?v'?=v||?+?v⊥'。為了計算v⊥'，我們構造向量v||?，v⊥和臨時向量w，如圖8.12所示：

’

上圖展示了以下向量：

（1）v||?是v平行于n的分量，另一種說法就是v||?是v在n上的投影，用（v.n）n計算。

（2）v⊥是v垂直于n的分量，因為?v?=?v|| + v⊥，所以?v⊥?=?v?-?v||。v⊥是v投影到垂直于n的平面上的結果。

（3）w是同時垂直于v||和v⊥的向量，它的長度和v⊥的相同。w和v⊥同在垂直于n的平面中，w是v⊥繞n旋轉90度的結果，由n?x?v⊥可以得到。

現(xiàn)在，v'垂直于n的分量可以表示為：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3D数学 ---- 矩阵和线性变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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