聚类 高维聚类 聚类评估标准 EM模型聚类
高維數(shù)據(jù)的聚類分析
高維聚類研究方向
高維數(shù)據(jù)聚類的難點(diǎn)在于：
1、適用于普通集合的聚類算法，在高維數(shù)據(jù)集合中效率極低
2、由于高維空間的稀疏性以及最近鄰特性，高維的空間中基本不存在數(shù)據(jù)簇。
?在高維聚類的研究中有如下幾個(gè)研究重點(diǎn)：
1）維度約簡(jiǎn)，主要分為特征變換和特征選擇兩大類。前者是對(duì)特征空間的變換映射，常見的有PCA、SVD等。后者則是選擇特征的子集，常見的搜索方式有自頂向下、隨機(jī)搜索等；（降維）
2）高維聚類算法，主要分為高維全空間聚類和子空間聚類算法。前者的研究主要聚焦在對(duì)傳統(tǒng)聚類算法的優(yōu)化改進(jìn)上，后者則可以看做維度約簡(jiǎn)的推廣；
子空間聚類：
特征選擇算法綜述：http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2011/01/02/1924088.html
不同的簇對(duì)應(yīng)不同的子空間，并且每個(gè)子空間維數(shù)不同，因此也不可能一個(gè)子空間就可以發(fā)現(xiàn)所有的簇。選取與給定簇密切相關(guān)的維，然后在對(duì)應(yīng)的子空間進(jìn)行聚類。子空間聚類需要自定義一種搜索策略和評(píng)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)篩選出需要聚類的簇
傳統(tǒng)的特征選擇算法可以用來(lái)確定相關(guān)維。
CLIQUE算法（綜合了基于密度和基于網(wǎng)格的算法）
CLIQUE把每個(gè)維劃分成不重疊的區(qū)間，從而把數(shù)據(jù)對(duì)象的整個(gè)嵌入空間劃分成單元。它使用一個(gè)密度閾值識(shí)別稠密單元和稀疏單元。如果映射到它的對(duì)象數(shù)超過(guò)該密度閾值，則這個(gè)單元是稠密的。
CLIQUE通過(guò)兩個(gè)階段進(jìn)行聚類。在第一階段，CLIQUE把d-維數(shù)據(jù)空間劃分若干互不重疊的矩形單元，并且從中識(shí)別出稠密單元。CLIQUE在所有的子空間中發(fā)現(xiàn)稠密單元。
為了做到這一點(diǎn)，CLIQUE把每個(gè)維都劃分成區(qū)間，并識(shí)別至少包含l個(gè)點(diǎn)的區(qū)間，其中l(wèi)是密度閾值。
然后，CLIQUE迭代地連接子空間.CLIQUE檢查中的點(diǎn)數(shù)是否滿足密度閾值。
當(dāng)沒(méi)有候選產(chǎn)生或候選都不稠密時(shí)，迭代終止。
在第二階段中，CLIQUE使用每個(gè)子空間中的稠密單元來(lái)裝配可能具有任意形狀的簇。其思想是利用最小描述長(zhǎng)度（MDL)原理,使用最大區(qū)域來(lái)覆蓋連接的稠密單元，其中最大區(qū)域是一個(gè)超矩形，落人該區(qū)域中的每個(gè)單元都是稠密的，并且該區(qū)域在該子空間的任何維上都不能再擴(kuò)展。一般地找出簇的最佳描述是NP一困難的。因此，CLIQUE采用了一種簡(jiǎn)單的貪心方法。它從一個(gè)任意稠密單元開始，找出覆蓋該單元的最大區(qū)域，然后在尚未被覆蓋的剩余的稠密單元上繼續(xù)這一過(guò)程。當(dāng)所有稠密單元都被覆蓋時(shí)，貪心方法終止。
簡(jiǎn)單說(shuō)：
?對(duì)每個(gè)屬性進(jìn)行?N等分,?整個(gè)數(shù)據(jù)空間就被劃分為一個(gè)超長(zhǎng)方體集合,?對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)數(shù),?大于某個(gè)閾值?S?的單元稱為稠密單元,?然后對(duì)稠密單元進(jìn)行連接就構(gòu)成類.?不同于其它方法,?它可以自動(dòng)地識(shí)別嵌入在數(shù)據(jù)子空間中的類
子空間聚類與基于降維的聚類對(duì)比
子空間聚類從某種程度上來(lái)講與基于降維的聚類有些類似，但后者是通過(guò)直接的降維來(lái)對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，即在降維之后的某一個(gè)特定的低維空間中進(jìn)行聚類處理；而前者是把高維數(shù)據(jù)劃分成若干不同的子空間，再根據(jù)需要在不同的子空間中尋求數(shù)據(jù)的聚類。
子空間聚類算法拓展了特征選擇的任務(wù)，嘗試在相同數(shù)據(jù)集的不同子空間上發(fā)現(xiàn)聚類。和特征選擇一樣，子空間聚類需要使用一種搜索策略和評(píng)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)篩選出需要聚類的簇，不過(guò)考慮到不同簇存在于不同的子空間，需要對(duì)評(píng)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)做一些限制。
3）聚類有效性，是對(duì)量化評(píng)估方法的研究；
基于降維的聚類從根本上說(shuō)都是以數(shù)據(jù)之間的距離 或相似度評(píng)價(jià)為聚類依據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)的維數(shù)不是很高時(shí)，這些方法效果較好，但當(dāng)數(shù)據(jù)維度增高，聚類處理將很難達(dá)到預(yù)期的 效果。 原因在于：
ａ）在一個(gè)很高維的空間中定義一個(gè)距離度量本身就是一個(gè)很困難的事情；
ｂ）基于距離的方法通常需要計(jì)算各個(gè)聚類之間的距離均值，當(dāng)數(shù)據(jù)的維度很高時(shí)，不同聚類之間的距離差異將會(huì)變得很小。
4）聚類結(jié)果表示方法；
5）高維數(shù)據(jù)索引結(jié)構(gòu)；
6）高維離群點(diǎn)的研究
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筆記︱多種常見聚類模型以及分群質(zhì)量評(píng)估（聚類注意事項(xiàng)、使用技巧）
一、聚類分析的距離問(wèn)題
聚類分析的目的就是讓類群內(nèi)觀測(cè)的距離最近，同時(shí)不同群體之間的距離最大。
1.樣本聚類距離以及標(biāo)準(zhǔn)化
幾種常見的距離，歐氏距離、絕對(duì)值距離、明氏距離、馬氏距離。與前面不同的是，概率分布的距離衡量，K-L距離代表P、Q概率分布差的期望。
一般來(lái)說(shuō)，聚類分析的數(shù)據(jù)都會(huì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化是因?yàn)榫垲悢?shù)據(jù)會(huì)受數(shù)據(jù)的量綱影響。
在以上的幾個(gè)距離明氏距離受量綱影響較大。馬氏距離受量綱影響較小
還有cos(余弦相似性)余弦值的范圍在[-1,1]之間，值越趨近于1，代表兩個(gè)向量的方向越趨近于0，他們的方向更加一致。相應(yīng)的相似度也越高（cos距離可以用在文本挖掘，文本詞向量距離之上）。
幾種標(biāo)準(zhǔn)化的方法，有規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化（R語(yǔ)言︱數(shù)據(jù)規(guī)范化、歸一化）
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2.不同類型變量距離計(jì)算?
算法雜貨鋪——k均值聚類(K-means)
1、標(biāo)量：歐幾里得距離??曼哈頓距離??閔可夫斯基距離 標(biāo)準(zhǔn)化
????? 標(biāo)量也就是無(wú)方向意義的數(shù)字，也叫標(biāo)度變量?，F(xiàn)在先考慮元素的所有特征屬性都是標(biāo)量的情況。例如，計(jì)算X={2,1,102}和Y={1,3,2}的相異度。一種很自然的想法是用兩者的歐幾里得距離來(lái)作為相異度，歐幾里得距離的定義如下：
?????
????? 其意義就是兩個(gè)元素在歐氏空間中的集合距離，因?yàn)槠渲庇^易懂且可解釋性強(qiáng)，被廣泛用于標(biāo)識(shí)兩個(gè)標(biāo)量元素的相異度。將上面兩個(gè)示例數(shù)據(jù)代入公式，可得兩者的歐氏距離為：
?????
????? 除歐氏距離外，常用作度量標(biāo)量相異度的還有曼哈頓距離和閔可夫斯基距離，兩者定義如下：
????? 曼哈頓距離：
????? 閔可夫斯基距離：
????? 歐氏距離和曼哈頓距離可以看做是閔可夫斯基距離在p=2和p=1下的特例。另外這三種距離都可以加權(quán)，這個(gè)很容易理解，不再贅述。
????? 下面要說(shuō)一下標(biāo)量的規(guī)格化問(wèn)題。上面這樣計(jì)算相異度的方式有一點(diǎn)問(wèn)題，就是取值范圍大的屬性對(duì)距離的影響高于取值范圍小的屬性。例如上述例子中第三個(gè)屬性的取值跨度遠(yuǎn)大于前兩個(gè)，這樣不利于真實(shí)反映真實(shí)的相異度，為了解決這個(gè)問(wèn)題，一般要對(duì)屬性值進(jìn)行規(guī)格化。所謂規(guī)格化就是將各個(gè)屬性值按比例映射到相同的取值區(qū)間，這樣是為了平衡各個(gè)屬性對(duì)距離的影響。通常將各個(gè)屬性均映射到[0,1]區(qū)間，映射公式為：
?????
????? 其中max(ai)和min(ai)表示所有元素項(xiàng)中第i個(gè)屬性的最大值和最小值。例如，將示例中的元素規(guī)格化到[0,1]區(qū)間后，就變成了X’={1,0,1}，Y’={0,1,0}，重新計(jì)算歐氏距離約為1.732。
2、二元變量：相同序位同值屬性的比例?Jaccard系數(shù)
????? 所謂二元變量是只能取0和1兩種值變量，有點(diǎn)類似布爾值，通常用來(lái)標(biāo)識(shí)是或不是這種二值屬性。對(duì)于二元變量，上一節(jié)提到的距離不能很好標(biāo)識(shí)其相異度，我們需要一種更適合的標(biāo)識(shí)。一種常用的方法是用元素相同序位同值屬性的比例來(lái)標(biāo)識(shí)其相異度。
????? 設(shè)有X={1,0,0,0,1,0,1,1}，Y={0,0,0,1,1,1,1,1}，可以看到，兩個(gè)元素第2、3、5、7和8個(gè)屬性取值相同，而第1、4和6個(gè)取值不同，那么相異度可以標(biāo)識(shí)為3/8=0.375。一般的，對(duì)于二元變量，相異度可用“取值不同的同位屬性數(shù)/單個(gè)元素的屬性位數(shù)”標(biāo)識(shí)。
????? 上面所說(shuō)的相異度應(yīng)該叫做對(duì)稱二元相異度?，F(xiàn)實(shí)中還有一種情況，就是我們只關(guān)心兩者都取1的情況，而認(rèn)為兩者都取0的屬性并不意味著兩者更相似。例如在根據(jù)病情對(duì)病人聚類時(shí)，如果兩個(gè)人都患有肺癌，我們認(rèn)為兩個(gè)人增強(qiáng)了相似度，但如果兩個(gè)人都沒(méi)患肺癌，并不覺(jué)得這加強(qiáng)了兩人的相似性，在這種情況下，改用“取值不同的同位屬性數(shù)/(單個(gè)元素的屬性位數(shù)-同取0的位數(shù))”來(lái)標(biāo)識(shí)相異度，這叫做非對(duì)稱二元相異度。如果用1減去非對(duì)稱二元相異度，則得到非對(duì)稱二元相似度，也叫Jaccard系數(shù)，是一個(gè)非常重要的概念。
3、分類變量
????? 分類變量是二元變量的推廣，類似于程序中的枚舉變量，但各個(gè)值沒(méi)有數(shù)字或序數(shù)意義，如顏色、民族等等，對(duì)于分類變量，用“取值不同的同位屬性數(shù)/單個(gè)元素的全部屬性數(shù)”來(lái)標(biāo)識(shí)其相異度。
4、序數(shù)變量：轉(zhuǎn)成標(biāo)量
????? 序數(shù)變量是具有序數(shù)意義的分類變量，通常可以按照一定順序意義排列，如冠軍、亞軍和季軍。對(duì)于序數(shù)變量，一般為每個(gè)值分配一個(gè)數(shù)，叫做這個(gè)值的秩，然后以秩代替原值當(dāng)做標(biāo)量屬性計(jì)算相異度。
5、向量：余弦相似度
????? 對(duì)于向量，由于它不僅有大小而且有方向，所以閔可夫斯基距離不是度量其相異度的好辦法，一種流行的做法是用兩個(gè)向量的余弦度量，其度量公式為：
?????
????? 其中||X||表示X的歐幾里得范數(shù)。要注意，余弦度量度量的不是兩者的相異度，而是相似度！
?
3.群體聚類距離
前面是樣本之間的距離，如果是一個(gè)點(diǎn)集，群落，如何定義群體距離。一般有以下幾種距離。
?
二.EM聚類
KMEANS注意點(diǎn)
1.K均值聚類算法對(duì)離群值最敏感，因?yàn)樗褂眉簲?shù)據(jù)點(diǎn)的平均值來(lái)查找集群的中心。
在數(shù)據(jù)包含異常值、數(shù)據(jù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)空間上的密度擴(kuò)展具有差異、數(shù)據(jù)點(diǎn)為非凹形狀的情況下，K均值聚類算法的運(yùn)行結(jié)果不佳。
2.K均值對(duì)簇中心初始化非常敏感。
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高斯混合模型聚類算法
高斯混合模型GMMs Gaussian Mixture Models 高斯模型即正態(tài)分布，高斯混合模型就是幾個(gè)正態(tài)分布的疊加，每一個(gè)正態(tài)分布代表一個(gè)類別，所以和K-means 很像，高斯混合模型也可以用來(lái)做無(wú)監(jiān)督的聚類分析。 ? 高斯混合模型聚類算法EM步驟如下：?注：當(dāng)高斯混合模型的特征值維數(shù)大于一維時(shí)，在計(jì)算加權(quán)的時(shí)候還要計(jì)算協(xié)方差，即要考慮不同維度之間的相互關(guān)聯(lián)。
高斯混合模型和K-means的比較： ???????相同點(diǎn)：三.常見聚類模型的比較
| ? | K-means | 層次聚類 | EM模型聚類 |
| 優(yōu)點(diǎn) | 屬于快速聚類，計(jì)算效率高 | 1、能夠展現(xiàn)數(shù)據(jù)層次結(jié)構(gòu)，易于理解 2、可以基于層次事后再選擇類的個(gè)數(shù)（根據(jù)數(shù)據(jù)選擇類，但是數(shù)據(jù)量大，速度慢） | 相比其他方法能夠擬合多種形狀的類 |
| 缺點(diǎn) | 1、需要實(shí)現(xiàn)指定類的個(gè)數(shù)（需要指定類） 2、有時(shí)會(huì)不穩(wěn)定，陷入局部收斂 | 1、計(jì)算量比較大，不適合樣本量大的情形 2、較多用于宏觀綜合評(píng)價(jià) | 需要事先指定類的個(gè)數(shù)和初始分布 |
?
分群指標(biāo)詳細(xì)說(shuō)明：7.9 聚類模型評(píng)估
四.聚類分群的數(shù)量如何確定？分群效果如何評(píng)價(jià)？
沒(méi)有固定標(biāo)準(zhǔn)，一般會(huì)3-10分群?；蛘哂靡恍┲笜?biāo)評(píng)價(jià)，然后交叉驗(yàn)證不同群的分群指標(biāo)。
一般的指標(biāo)：輪廓系數(shù)silhouette（-1,1之間，值越大，聚類效果越好）（fpc包），蘭德指數(shù)rand；R語(yǔ)言中有一個(gè)包用30種方法來(lái)評(píng)價(jià)不同類的方法（NbClust），但是速度較慢。既可以確定分群數(shù)量，也可以評(píng)價(jià)聚類質(zhì)量
商業(yè)上的指標(biāo)：分群結(jié)果的覆蓋率；分群結(jié)果的穩(wěn)定性；分群結(jié)果是否從商業(yè)上易于理解和執(zhí)行
1 . 蘭德指數(shù) 需要標(biāo)簽
蘭德指數(shù)（Rand index）需要給定實(shí)際類別信息$C$，假設(shè)$K$是聚類結(jié)果，$a$表示在$C$與$K$中都是同類別的元素對(duì)數(shù)，$b$表示在$C$與$K$中都是不同類別的元素對(duì)數(shù)，則蘭德指數(shù)為：
${\rm RI}=\frac{a+b}{C_2^{n_{\rm samples}}}$，
對(duì)于以上公式，
- 分子：屬性一致的樣本數(shù)，即同屬于這一類或都不屬于這一類。a是真實(shí)在同一類、預(yù)測(cè)也在同一類的樣本數(shù)；b是真實(shí)在不同類、預(yù)測(cè)也在不同類的樣本數(shù)；
- 分母：任意兩個(gè)樣本為一類有多少種組合，是數(shù)據(jù)集中可以組成的總元素對(duì)數(shù)；
- RI取值范圍為[0,1]，值越大意味著聚類結(jié)果與真實(shí)情況越吻合。
對(duì)于隨機(jī)結(jié)果，RI并不能保證分?jǐn)?shù)接近零。為了實(shí)現(xiàn)“在聚類結(jié)果隨機(jī)產(chǎn)生的情況下，指標(biāo)應(yīng)該接近零”，調(diào)整蘭德系數(shù)（Adjusted rand index）被提出，它具有更高的區(qū)分度：
${\rm ARI}=\frac{{\rm RI}-E[{\rm RI}]}{\max({\rm RI})-E[{\rm RI}]}$，
具體計(jì)算方式參見Adjusted Rand index。
ARI取值范圍為$[-1,1]$，值越大意味著聚類結(jié)果與真實(shí)情況越吻合。從廣義的角度來(lái)講，ARI衡量的是兩個(gè)數(shù)據(jù)分布的吻合程度。
2. 互信息?需要標(biāo)簽、先驗(yàn)知識(shí)
互信息（Mutual Information）也是用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)數(shù)據(jù)分布的吻合程度。假設(shè)$U$與$V$是對(duì)$N$個(gè)樣本標(biāo)簽的分配情況，則兩種分布的熵（熵表示的是不確定程度）分別為：
$H(U)=\sum\limits_{i=1}^{|U|}P(i)\log (P(i)), H(V)=\sum\limits_{j=1}^{|V|}P'(j)\log (P'(j))$，
其中$P(i)=|U_i|/N,P'(j)=|V_j|/N$。$U$與$V$之間的互信息（MI）定義為：
${\rm MI}(U,V)=\sum\limits_{i=1}^{|U|}\sum\limits_{j=1}^{|V|}P(i,j)\log\left ( \frac{P(i,j)}{P(i)P'(j)}\right )$，
其中$P(i,j)=|U_i\bigcap V_j|/N$。標(biāo)準(zhǔn)化后的互信息（Normalized mutual information）為：
${\rm NMI}(U,V)=\frac{{\rm MI}(U,V)}{\sqrt{H(U)H(V)}}$。
與ARI類似，調(diào)整互信息（Adjusted mutual information）定義為：
${\rm AMI}=\frac{{\rm MI}-E[{\rm MI}]}{\max(H(U), H(V))-E[{\rm MI}]}$。
利用基于互信息的方法來(lái)衡量聚類效果需要實(shí)際類別信息，MI與NMI取值范圍為$[0,1]$，AMI取值范圍為$[-1,1]$，它們都是值越大意味著聚類結(jié)果與真實(shí)情況越吻合。
3. 輪廓系數(shù)
輪廓系數(shù)旨在將某個(gè)對(duì)象與自己的簇的相似程度和與其他簇的相似程度進(jìn)行比較。輪廓系數(shù)最高的簇的數(shù)量表示簇的數(shù)量的最佳選擇。
輪廓系數(shù)（Silhouette coefficient）適用于實(shí)際類別信息未知的情況。對(duì)于單個(gè)樣本，設(shè)$a$是與它同類別中其他樣本的平均距離，$b$是與它距離最近不同類別中樣本的平均距離，輪廓系數(shù)為：
$s=\frac{b-a}{\max(a,b)}$。
對(duì)于一個(gè)樣本集合，它的輪廓系數(shù)是所有樣本輪廓系數(shù)的平均值。
輪廓系數(shù)取值范圍是$[-1,1]$，同類別樣本越距離相近且不同類別樣本距離越遠(yuǎn)，分?jǐn)?shù)越高。
一般來(lái)說(shuō)，平均輪廓系數(shù)越高，聚類的質(zhì)量也相對(duì)較好。在這，對(duì)于研究區(qū)域的網(wǎng)格單元，最優(yōu)聚類數(shù)應(yīng)該是2，這時(shí)平均輪廓系數(shù)的值最高。但是，聚類結(jié)果（k=2）的 SSE 值太大了。當(dāng) k=6 時(shí)，SEE 的值會(huì)低很多，但此時(shí)平均輪廓系數(shù)的值非常高，僅僅比 k=2 時(shí)的值低一點(diǎn)。因此，k=6 是最佳的選擇。
五、kmeans時(shí)候出現(xiàn)的超級(jí)大群現(xiàn)象，如何解決？
?kmeans做聚類的時(shí)候，往往會(huì)出現(xiàn)一個(gè)超級(jí)大群，一類樣本數(shù)據(jù)很多很多，其他類別數(shù)量很少。兩極分化很嚴(yán)重。在實(shí)際使用的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)以下這幾個(gè)問(wèn)題：
80%的數(shù)據(jù)分布在1%的空間內(nèi)，而剩下的20%的數(shù)據(jù)分布在99%的空間內(nèi)。聚類時(shí)，分布在1%空間內(nèi)的大部分?jǐn)?shù)據(jù)會(huì)被聚為一類，剩下的聚為一類。當(dāng)不斷增加K值時(shí)，模型一般是對(duì)99%空間內(nèi)的數(shù)據(jù)不斷進(jìn)行細(xì)分，因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)之間的空間距離比較大。
? ? ? 而對(duì)分布在1%空間內(nèi)的數(shù)據(jù)則很難進(jìn)一步細(xì)分，或者即使細(xì)分了，也只是剝離出了外側(cè)少量數(shù)據(jù)。下圖是我們?cè)谀硞€(gè)項(xiàng)目中的聚類結(jié)果，可以看到有一類用戶占了90%以上，而且隨著K的增加，這類用戶里只有很小一部分?jǐn)?shù)據(jù)會(huì)被劃分出來(lái)。
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? ? ??解決辦法：那么為了解決這個(gè)問(wèn)題，一種可行的方法是是對(duì)特征取LOG，減輕長(zhǎng)尾問(wèn)題。經(jīng)過(guò)這兩種方法處理后，都能較好的對(duì)玩家進(jìn)行分類。下圖是上圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)取LOG后得到的分布圖。
? ? ??缺點(diǎn)：取LOG的方法的缺點(diǎn)在于，會(huì)使數(shù)據(jù)變得不直觀，不好理解。
DBSCAN
k-dist
另外，DBSCAN要求用戶指定一個(gè)全局參數(shù)Eps(為了減少計(jì)算量，預(yù)先確定參數(shù) Minpts)。為了確定取值，DBSCAN計(jì)算任意對(duì)象與它的第k個(gè)最臨近的對(duì)象之間的距離。然后，根據(jù)求得的距離由小到大排序，并繪出排序后的圖，稱做k-dist圖。k-dist圖中的橫坐標(biāo)表示數(shù)據(jù)對(duì)象與它的第k個(gè)最近的對(duì)象間的距離；縱坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)于某一k-dist距離值的數(shù)據(jù)對(duì)象的個(gè)數(shù)。
R-樹
為了有效地執(zhí)行區(qū)域查詢，DBSCAN算法使用了空間查 詢R-樹結(jié)構(gòu)。在進(jìn)行聚類前，必須建立針對(duì)所有數(shù)據(jù)的R*-樹。
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的聚类 高维聚类 聚类评估标准 EM模型聚类的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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