B+樹

文章目錄

• B+樹
• • 1.基礎概念
  • 2.查找
  • 3.插入
  • 4.刪除
  • 5.更新
  • 6.示例
• 參考資料

1.基礎概念

B+樹是應數據庫需求出現的一種B樹的變形樹，是一個m叉多路平衡查找樹，B+樹的查找、插入和刪除操作都和 B樹基本類似。

一顆 m 階的 B+樹：

• 結點的關鍵字個數與子樹個數相同，即一個關鍵字對應一顆子樹
• 根結點的關鍵字范圍為 1 ≤ n ≤ m，但是非葉根結點必須至少有兩顆子樹
• 非根內部結點的關鍵字范圍為 $?m/2?$ ≤ n ≤ m
• 葉子結點的關鍵字范圍為 $?m/2?$ ≤ n ≤ m
• 葉子結點包含信息，非葉結點僅起到索引作用。葉子結點中出現所有的關鍵字，即使那些在非葉結點出現的關鍵字也會在葉子結點中出現
• 葉子結點中將關鍵字按大小順序排列，相鄰葉子結點按大小順序鏈接起來
• 分支節點僅包含它子節點中的關鍵字最大值和指向子節點的指針

B+樹比 B樹更適合作為操作系統的文件索引：

B+樹的磁盤讀寫代價更低

• B+樹節點小，一個節點可容納更多的關鍵字因此，訪問外存的次數少

B+樹的查詢效率更加穩定。

• B+樹任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路

2.查找

通常在 B+樹中有兩個頭指針：一個指向根結點，另一個指向關鍵字最小的葉結點。我們可以對B+樹進行兩種查找運算：一種是從根結點開始的多路查找，另一種是從最小關鍵字開始的順序查找。

在多路查找過程中，如果非葉結點上的關鍵字等于給定值，也不停止，而是繼續沿著右指針向下，一直查到葉結點上有關鍵字等于給定值，然后返回對應的記錄地址；如果查不到，則記錄不存在。因此，在B+樹中進行多路查找，無論成功與否，都會返回一條由根結點到葉子結點的路徑。

對于記錄總數K，B+樹的叉樹 N，整個 B+樹的高度為 $h=?{\log }_{n/2}K?$。如果 K=1百萬，N=20，那么 B+樹高度為6，即在一個百萬記錄的文件中查找記錄，也只需要訪問6個樹結點。即使每個樹結點都占用一個磁盤塊，最多也只需要7次 I/O 操作（6次結點磁盤和1次記錄本身磁盤快）。

3.插入

B+樹的插入在葉子結點上進行，葉子結點可能會因為插入操作而變得過大從而需要分裂，必須調整相關結點保證 B+ 樹的平衡，否則查找操作的效率就會下降。

插入的規則如下：

查找給定值 V，如果插入值后的葉子結點關鍵字個數不超過 m，則將 V 插入該葉子結點，插入結束

如果葉子結點關鍵字個數等于 m，即插入之后葉子結點關鍵字為 m+1，則插入之后需要對該葉子結點進行分裂

以 $?m/2?$ 位置的關鍵字作為分界，左側 $?(m+1)/2?$ 個關鍵字保留在原來的結點中，右側 $?(m+1)/2?$ 個關鍵字作為新結點，將兩個結點的最大值和結點地址插入上層結點中

如果葉子結點分裂導致上層結點的關鍵字個數達到 m，同樣對上層結點進行分裂。

4.刪除

刪除給定值為V的記錄，需要先找到鍵值V所在的葉結點，將該鍵值的索引項刪除。

刪除的規則如下：

查找給定值 V，如果刪除值 V 后的葉子結點關鍵字個數不少于 $?m/2?$ ，則將 V 從該葉子結點中刪除，刪除結束。（如果是該葉子結點的最大值，可以不用刪除對應上層結點的數值，這樣不會影響到查找，以后的插入/刪除可能會更新上層結點的值）

如果刪除值V之后的葉子結點關鍵字個數小于 $?m/2?$ ，刪除之后需要對該葉子結點進行合并操作

查看右（左）兄弟結點中關鍵字個數是否大于 $?m/2?$，如果是，從兄弟結點中借來最接近的關鍵字，并更新上層結點的對應數值

如果兄弟結點不夠借，進行結點合并。將右側結點的所有關鍵字都插入本結點中，刪除變空的右側結點。如果導致上層結點的子樹個數小于 $?m/2?$ ，則從上層結點的左側兄弟結點借來一個最右側的子樹，然后對所有結點的數據和索引進行更新。

5.更新

對于B+樹中數值的更新，不能簡單地進行對應數值的更改，則是需要采取先刪除再插入的策略，以保持B+樹索引結構的更新

6.示例

參考資料

數據結構（C語言版）第二版 —— 清華大學出版社

數據結構精講與習題詳解（C語言版）第二版 —— 清華大學出版社

總結

以上是生活随笔為你收集整理的B+树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。