當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

计算复杂性课程

發布時間：2025/3/21 编程问答 15 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了计算复杂性课程小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

計算復雜性課程

Chapter 1 時間復雜性
Chapter 2 空間復雜性
Chapter 3 NP完全和多項式譜系
Chapter 4 電路

Chapter 1 時間復雜性

圖靈機
時間可構造性（不等價）
通用圖靈機對數時間放大（ $T→cTlogTT\rightarrow cTlogT$ ）
對角線方法
丘奇-圖靈論題（可計算函數就是圖靈機可計算函數，“遞歸定理”）
加速定理
- blum加速定理
- 時間壓縮定理/線性加速： $?T(n)+n+2\epsilon T(n)+n+2$
時間復雜性類（ $P, E X P$ ）
間隙定理（TIME $(b (x)) =$ TIME $(r (b (x)))$ ）
非確定圖靈機
- $P?NP?EXP?NEXPP\subset NP\subset EXP\subset NEXP$
- 通用非確定圖靈機 $T→TT\rightarrow T$ ，缺點是不一定終止
命題邏輯
- 字(變量或變量否)，單項式(若干字的合取)，語句(若干字的析取)，析取范式(若干單項式的析取)，合取范式(若干語句的合取)
- 永真式：所有可滿足的合取范式的集合
- SAT $∈\in$ NP
謂詞邏輯
- QBF：所有為真的量化布爾公式的集合
計算的邏輯刻畫（格局圖鄰接矩陣表示）
時間譜系定理
- $f(n)log?f(n)=o(g(n))f(n)\log f(n)=o(g(n))$ ，則TIME $(f(n))?(f(n))\subsetneqq$ TIME $(g (n))$
- 非確定時間譜系定理： $f (n + 1) = o (g (n))$ ，則NTIME $(f(n))?(f(n))\subsetneqq$ NTIME $(g (n))$
概率圖靈機
神諭圖靈機
歸約
- Karp歸約：多項式時間可計算的 $m$ -歸約函數，則稱 $A$ 可卡普規約到 $B$ ，記作 $A≤KBA\le_K B$
- Cook歸約： $A∈A\in$ P $^B$ ，則稱 $A$ 可庫克規約到 $B$ ，記作 $A≤CBA\le_C B$

Chapter 2 空間復雜性

緒論
- 空間壓縮定理： $S(n)→?S(n)+1S(n)\rightarrow \epsilon S(n)+1$
- 空間可構造性（等價）
- 通用圖靈機線性空間放大（ $S→cSS\rightarrow cS$ ）
- 空間譜系定理： $f (n) = o (g (n))$ ，則SPACE $(f(n))?(f(n))\subsetneqq$ SPACE $(g (n))$
- 格局圖：鄰接矩陣表示，每一步是 $?M,x(C,C′)\phi_{M,x}(C,C')$
  - $?M,x(C,C′)\phi_{M,x}(C,C')$ 賦值：對數空間 $O(log?S)O(\log S)$ ，多項式時間 $O(∣?M,x(C,C′)∣)=O(Slog?S)O(|\phi_{M,x}(C,C')|)=O(S\log S)$
  - $?M,x(C,C′)\phi_{M,x}(C,C')$ 求值：常數空間，多項式時間 $O(Slog?S)O(S\log S)$
對數空間類（ $L, N L$ ）
- 對數空間歸約：若存在隱式對數空間可計算的從 $A$ 到 $B$ 的歸約，則 $A≤LBA\le_L B$
- 可達性問題 $∈\in$ NL-完全
多項式空間類（PSPACE,NPSPACE）
- TQBF $∈\in$ PSPACE-完全
- 薩維奇定理：NSPACE( $S$ ) $?\subset$ SPACE( $S^2$ )
伊默爾曼-斯澤勒普森伊定理
- 薩維奇定理 $→\rightarrow$ coNPSPACE=NPSPACE
- 可達性問題 $∈NL￣→coNL=NL\in \overline{NL}\rightarrow coNL=NL$
- 可達性問題 $≤L\le_L$ 2SAT $→\rightarrow$ 2SAT $∈\in$ NL-完全
霍普克羅夫特-保羅-瓦里昂特定理：TIME $(S(n))?(S(n))\subset$ SPACE $(S (n) / l o g S (n))$

Chapter 3 NP完全和多項式譜系

NP完全性
- 若 $?A∈\forall A\in$ NP，均有 $A≤KBA\le_K B$ ，則 $B$ 是NP-難的；若 $B$ 是NP-難的且 $B∈B\in$ NP，則 $B$ 是NP-完全的。
Cook-levin定理：SAT $∈\in$ NP-完全
Ladner定理：若P $≠\neq$ NP，則P $∪\cup$ NPC $≠\neq$ NP
貝克-吉爾-索羅維定理：存在 $A, B$ 使得P $^A$ =NP $^A$ 且P $B≠^B\neq$ NP $^B$
多項式譜系：NP $?\subsetneqq$ NP $NP?^{NP}\subsetneqq$ NP $NPNP?……^{NP^{NP}}\subsetneqq……$
譜系的邏輯刻畫
譜系的交替機刻畫
無限譜系假設： $?i,\forall i,$ PH $i?_i\subsetneqq$ PH $_{i+1}$

Chapter 4 電路

電路譜系定理
- shannon定理：絕大多數 $n$ -元布爾函數的電路復雜性大于 $2nn?o(2nn)\frac{2^n}{n}-o(\frac{2^n}{n})$
- 最難的 $n$ -元布爾函數的電路復雜性有上界 $2nn+o(2nn)\frac{2^n}{n}+o(\frac{2^n}{n})$
- 存在 $c < 1$ ，對足夠大的 $n$ ，最難的 $n$ -元布爾函數的電路復雜性有下界 $2nn(1+clog?nn)\frac{2^n}{n}(1+c\frac{\log n}{n})$
- 最難的 $n$ -元布爾函數 $f$ 的電路復雜性 $C_f|$ 滿足下列不等式： $2nn(1+log?nn?O(1n)≤∣Cf∣≤2nn(1+3log?nn+O(1n))\frac{2^n}{n}(1+\frac{\log n}{n}-O(\frac{1}{n})\le|C_f|\le \frac{2^n}{n}(1+3\frac{\log n}{n}+O(\frac{1}{n}))$
- 電路譜系定理：若有 $?>0\epsilon>0$ 滿足 $n<(2+?)S(n)<S′(n)<<2n/nn<(2+\epsilon)S(n)<S'(n)<<2^n/n$ ，則有SIZE $(S(n))?(S(n))\subsetneqq$ SIZE $(S^{'} (n))$
uniform circuit：限制多項式大小電路族的能力，使它們和多項式時間圖靈機的計算能力一樣。只考慮多項式時間可判定問題
- 一個語言可被一致電路族接受當僅當該語言在 $P$ 中
- 對所有 $L∈NPL\in NP$ ，有 $L≤LCKT?SATL\le_L CKT-SAT$
- $CKT?SAT≤LSATCKT-SAT\le_L SAT$
$P / p o l y$ ：讓多項式時間圖靈機擁有額外的信息，使它們和多項式大小的電路族的能力一樣，給它們一些建議。
- $P/poly=∪c,c′P/poly=\cup _{c,c'}$ SIZE $cn^{c'})$
- $P?P/polyP\subseteq P/poly$
- 若 $NP?P/polyNP\subseteq P/poly$ ，則 $PH=PH_2$
- 若 $EXP?P/polyEXP\subseteq P/poly$ ，則 $∑2SAT\sum_2 SAT$ 是 $E X P$ -難的
并行計算
- NC
  - $NC^d$ ：語言 $L$ 在 $NC^d$ 中當僅當 $L$ 可由一個高度函數為 $O(\log^d(n))$ 的一致電路族所接受
  - 高效并行計算類 $N C$ 定義為 $∪d∈NNCd\cup_{d\in N}NC^d$
- 圖的可達性問題在 $NC^2$ 中
- AC：交替電路
  - NC：與門和或門的扇入=2，AC：與門和或門的扇入 $≥\ge$ 2
  - $AC=∪d∈NACdAC=\cup_{d\in N}AC^d$
  - $NCi?ACi?NCi+1NC^i\subseteq AC^i\subseteq NC^{i+1}$
  - $A C = N C$
P-完全性
- 隱式對數空間可計算函數具有高效并行算法
- 若 $L∈PL\in P$ -完全的， $L∈NCL\in NC$ 當僅當 $N C = P$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算复杂性课程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。