近世代數--多項式環--未定元的存在性

• 引出未定元，環上的多項式
• 未定元indeterminate
• 有單位元的環上未定元的存在性
• 形式冪級數環$\bar{R}$（無限）
• 多項式環$R[x]$（有限）
• 環$R$上的一元多項式環$R[x]$本質上是唯一的

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

引出未定元，環上的多項式

• 數域$F$上的多項式：$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n+\dots \dots$我們說$a_i$是多項式$f(x)$的系數，那么，$x$是什么？

• 數域上有多項式，一般有單位元的環上有多項式嗎？

未定元indeterminate

• $R$為有單位元的環，單位元為$1$，
• 根據環的擴張定理，我們知道環$R$有擴環，表示為$\bar{R}$，
• $x\in \bar{R}$，如果有
  • $?r\in R,rx=xr$
  • $1x=x$
  • 對$R$的任意一組不全為零的元素$$\begin{gathered} a_0,a_1,\dots \dots a_n, \\ f(x)=a_0+a_{1}x+\dots \dots +a_n{x}^n=0 \end{gathered}$$

稱 $x$為$R$上的未定元

（為什么要叫未定元？）

有單位元的環上未定元的存在性

“有單位元的環$R$上一定存在未定元$x$” 證明思路：

• 先證$\bar{x}\in \bar{S},\bar{x}$是$S$上的未定元

• 通過映射$\phi :R\to S,\phi (x)=\bar{x}$

• $R$的擴環$\bar{R}=(\bar{S}?\phi (R))\cup R=(\bar{S}?S)\cup R$

• $x\in \bar{R},$證明$x$是$R$上的未定元。
  
  $R$是有單位元的環，

• 第一步：構造環$\bar{S}$

  • 集合$\bar{S}=\{(a_0,a_1\dots a_n\dots )|a_0,a_1,\dots a_n\dots \in R\}$

  • 定義代數運算："+"、"·"

    $?\alpha =(a_0,a_1,\dots a_n\dots ),\beta =(b_0,b_1,\dots b_n\dots )\in \bar{S}$

    • “+”：$\alpha +\beta =(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots a_n+b_n\dots )$
    • “·”：$\alpha ?\beta =(c_0,c_1,\dots c_n\dots ),c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j(k=0,1\dots n\dots )$

  • $\bar{S}$關于"+"、"·"運算構成一個有單位元的環，單位元為$\bar{1}=(1,0,\dots 0,\dots )$

• 第二步：從$\bar{S}$構造子環$S$

  $S=\{\bar{r}=(r,0,\dots 0,\dots )|r\in R\}$
  $S$為$\bar{S}$的子環，$\bar{1}$為$S$的單位元

• 第三步：找到$\bar{x}\in \bar{S}$，證明$\bar{x}$是$S$上的未定元

  $\bar{x}=(0,1,0,\dots 0,\dots )$
  證明$\bar{x}$是$S$上的未定元

  • $?\bar{r}\in S,\bar{r}\bar{x}=\bar{x}\bar{r}$

    $\bar{r}\bar{x}=(r,0,\dots 0,\dots )(0,1,0,\dots 0,\dots )=(0,r,0,\dots 0,\dots )$,
    $\bar{x}\bar{r}=(0,1,0,\dots 0,\dots )(r,0,\dots 0,\dots )=(0,r,0,\dots 0,\dots )$,
    $\to \bar{x}\bar{r}=\bar{r}\bar{x}$

  • $\bar{1}\bar{x}=\bar{x}$

    $\bar{1}\bar{x}=(1,0,\dots 0,\dots )(0,1,0,\dots 0\dots )=(0,1,0,\dots 0\dots )=\bar{x}$

  • 對于$S$任意一組不全為零的元素${\bar{a}}_0=(a_0,0,\dots 0\dots ),{\bar{a}}_1=(a_1,0,\dots 0\dots ),\dots {\bar{a}}_n=(a_n,0,\dots 0\dots ),\dots ,$

    ${\bar{x}}^n=(0,0,\dots 0,1,0,\dots )$，前面共$n$個0
    $$\begin{gathered} f(\bar{x})={\bar{a}}_0+{\bar{a}}_1\bar{x}+{\bar{a}}_2{\bar{x}}^2+\dots +{\bar{a}}_n{\bar{x}}^n \\ =(a_0,a_1,\dots a_n,0\dots )=0 \end{gathered}$$

• 第四步：構造映射$\phi :R\to \bar{S},$得到擴環$R$

  $\phi :R\to \bar{S},\phi (r)=(r,0,0,\dots 0,\dots ),$即$\phi (R)=S,\phi$是單同態。
  由環的擴張定理得，$\bar{R}=(\bar{S}?\phi (R))\cup R,\bar{\phi }:\bar{R}?\bar{S}$

• 第五步：找到$x\in \bar{R}$，證明$x$是$R$上的未定元

  $x\in \bar{R},$使$\bar{\phi }(x)=\bar{x}$
  證明$x$是$R$上的未定元

  • $?r\in R,rx=xr$

    $$\begin{gathered} \bar{\phi }(rx) \\ =\bar{\phi }(r)\bar{\phi }(x)=\bar{r}\bar{x} \\ =\bar{x}\bar{r}=\bar{\phi }(x)\bar{\phi }(r) \\ =\bar{\phi }(xr) \end{gathered}$$
    $\to rx=xr$

  • $1x=x$

    $\bar{\phi }(1x)=\bar{\phi }(1)\bar{\phi }(x)=\bar{1}\bar{x}=\bar{x}=\bar{\phi }(x)$
    $\to 1x=x$

  • 對于$S$任意一組不全為零的元素$a_0,a_1\dots a_n\dots$

    $$\begin{gathered} \bar{\phi }(a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n) \\ ={\bar{a}}_0+{\bar{a}}_1\bar{x}+\dots {\bar{a}}_n{\bar{x}}^n \\ =(a_0,a_1,\dots a_n,0\dots )=0 \end{gathered}$$

形式冪級數環$\bar{R}$（無限）

通過上述過程，我們知道：

• $\bar{\phi }:\bar{R}\to \bar{S}$是同構的
• $\bar{S}=(a_0,a_1\dots a_n\dots )$
• $\bar{\phi }(a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n)=(a_0,a_1,\dots a_n,0\dots )$

推出：$\bar{R}$是形如$a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n+\dots$的表達式所組成的環

• 環$R$上的形式冪級數：表達式$a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n+\dots$
• 環$R$上的形式冪級數環：$\bar{R}$，記作$R[[x]]$

多項式環$R[x]$（有限）

• 一元多項式：$$\begin{gathered} f(x) \\ R \end{gathered}$$是有單位元$1$的環，$x$是$R$上的一個未定元，$$\begin{gathered} a_0,a_1,a_2\dots a_n\in R, \\ f(x)=a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n \end{gathered}$$為 $R$上關于$x$的一元多項式(polynomial)

  • $i$次項：$a_i{x}^i$
  • $i$次項系數：$a_i$
  • 常數項：$a_0$
  • 首項系數：$a_n$
  • 多項式次數：$n,degf(x)=n$

• 一元多項式環：$R[x]:R$上的以$x$為未定元的一元多項式環

  $R[x]=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \dots +a_n{x}^n|n\ge 0,a_0,a_1,\dots a_n\in R\}$

環$R$上的一元多項式環$R[x]$本質上是唯一的

$R、R^{\prime }$是兩個有單位元的環，$x、y$是其上的未定元，
$R?R^{\prime }\to R[x]?R^{\prime }[y]$

證明：
$\phi :R\to R^{\prime }$
${\phi }^{\prime }:R[x]\to R^{\prime }[y]$

• $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots a_n{x}^n\in R[x]$
• $f(y)=a_0^{\prime }+a_1^{\prime }y+a_2^{\prime }{y}^2+\dots +a_n^{\prime }{y}_n\in R^{\prime }[y]$

$a_i^{\prime }=\phi (a_i),i=0,1,2\dots n$

因為$\phi$是同構，所以${\phi }^{\prime }$是同構

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--多项式环--未定元的存在性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。