近世代数--内直积--内直积是什么？充要条件？
近世代數(shù)--內(nèi)直積--內(nèi)直積是什么？充要條件？
博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：近世代數(shù)，方便檢索。
通過(guò)直積，我們可以把若干個(gè)小群組合成一個(gè)大群，也可以把一個(gè)大群分解成一些子群的乘積。
內(nèi)直積：(internal direct product)
- H?G,K?GH\triangleleft G,K\triangleleft GH?G,K?G,
- G=HKG=HKG=HK
- H∩K={e}H\cap K=\{e\}H∩K={e}
- 則GGG是HHH和KKK的內(nèi)直積
內(nèi)直積性質(zhì)：
性質(zhì)1：GGG是HHH和KKK內(nèi)直積的充分必要條件：
H?G,K?G,H\subset G,K\subset G,H?G,K?G,
- GGG中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，h∈H,k∈Kh\in H,k\in Kh∈H,k∈K；
- ?h∈H,?k∈K,\forall h\in H,\forall k \in K,?h∈H,?k∈K,有hk=khhk=khhk=kh
證明：
-
GGG是HHH和KKK內(nèi)直積→G\rightarrow G→G中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，h∈H,k∈K；h\in H,k\in K；h∈H,k∈K；且?h∈H,?k∈K,\forall h\in H,\forall k \in K,?h∈H,?k∈K,有hk=khhk=khhk=kh
- 證GGG中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，h∈H,k∈K；h\in H,k\in K；h∈H,k∈K；
假設(shè)?g∈G,\forall g\in G,?g∈G,可以寫(xiě)成
g=hk=h′k′,h,h′∈H,k,k′∈K,→h′?1h=k′k?1,g=hk=h'k',h,h'\in H,k,k'\in K,\\\rightarrow h'^{-1}h=k'k^{-1},g=hk=h′k′,h,h′∈H,k,k′∈K,→h′?1h=k′k?1,又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">h′?1h∈H，k′k?1∈K，→h′?1h=k′k?1∈H∩K，h'^{-1}h\in H，k'k^{-1}\in K，\\\rightarrow h'^{-1}h=k'k^{-1}\in H\cap K，h′?1h∈H，k′k?1∈K，→h′?1h=k′k?1∈H∩K，又H∩K=e,→h′?1h=k′k?1=e,→h=h′,k=k′H\cap K=e,\\\rightarrow h'^{-1}h=k'k^{-1}=e,\\\rightarrow h=h',k=k'H∩K=e,→h′?1h=k′k?1=e,→h=h′,k=k′ - 證?h∈H,?k∈K,\forall h\in H,\forall k \in K,?h∈H,?k∈K,有hk=khhk=khhk=kh
?h∈H,k∈K,g=hkh?1k?1∈G,\forall h\in H,k\in K,g=hkh^{-1}k^{-1} \in G,?h∈H,k∈K,g=hkh?1k?1∈G,
H?G,→kh?1k?1∈H,→g=hkh?1k?1∈hH=HH\triangleleft G,\\\rightarrow kh^{-1}k^{-1} \in H,\\\rightarrow g=hkh^{-1}k^{-1}\in hH=HH?G,→kh?1k?1∈H,→g=hkh?1k?1∈hH=H
同理，K?G,→hkh?1∈K,→g=hkh?1k?1∈Kk?1=KK\triangleleft G,\\\rightarrow hkh^{-1} \in K,\\\rightarrow g=hkh^{-1}k^{-1}\in Kk^{-1}=KK?G,→hkh?1∈K,→g=hkh?1k?1∈Kk?1=K
所以g=hkh?1k?1∈H∩K=e,→hk=khg=hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K=e,\\\rightarrow hk=khg=hkh?1k?1∈H∩K=e,→hk=kh
- 證GGG中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，h∈H,k∈K；h\in H,k\in K；h∈H,k∈K；
-
GGG中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，h∈H,k∈K；h\in H,k\in K；h∈H,k∈K；且?h∈H,?k∈K,\forall h\in H,\forall k \in K,?h∈H,?k∈K,有hk=kh→Ghk=kh\rightarrow Ghk=kh→G是HHH和KKK內(nèi)直積
要證H?G,K?GH\triangleleft G,K\triangleleft GH?G,K?G,H∩K={e}H\cap K=\{e\}H∩K={e},G=HKG=HKG=HK- 證G=HKG=HKG=HK
GGG中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，h∈H,k∈K→G=HKh\in H,k\in K\rightarrow G=HKh∈H,k∈K→G=HK - 證H?G,K?GH\triangleleft G,K\triangleleft GH?G,K?G
?g∈G,h1∈H,\forall g\in G,h_1\in H,?g∈G,h1?∈H,有gh1g?1∈Hgh_1g^{-1}\in Hgh1?g?1∈H
gh1g?1=(hk)h1(hk)?1=(hk)h1(k?1h?1)=h(kh1)k?1h?1=h(h1k)k?1h?1=hh1h?1∈Hgh_1g^{-1}\\= (hk)h_1(hk)^{-1}\\=(hk)h_1(k^{-1}h^{-1})\\=h(kh_1)k^{-1}h^{-1}\\=h(h_1k)k^{-1}h^{-1}\\=hh_1h^{-1}\in Hgh1?g?1=(hk)h1?(hk)?1=(hk)h1?(k?1h?1)=h(kh1?)k?1h?1=h(h1?k)k?1h?1=hh1?h?1∈H
同理證K?GK\triangleleft GK?G - 證H∩K={e}H\cap K=\{e\}H∩K={e}
?g∈H∩K,ge=g=eg\forall g\in H\cap K,ge=g=eg?g∈H∩K,ge=g=eg
因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">GGG中每個(gè)元可惟一表示為hkhkhk的形式，所以ge=eg,g∈H∩K,e∈H∩K→g=e,e=gge=eg,g\in H\cap K,e\in H\cap K\rightarrow g=e,e=gge=eg,g∈H∩K,e∈H∩K→g=e,e=g，即H∩K={e}H\cap K=\{e\}H∩K={e}
- 證G=HKG=HKG=HK
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--内直积--内直积是什么？充要条件？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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