近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子
近世代數--有限交換群--存在元素的階是群階的素因子
- 設GGG為有限交換群，∣G∣=n=pm,p|G|=n=pm,p∣G∣=n=pm,p為素數，?a∈G,{\exists}a\in G,?a∈G,使得∣a∣=p|a|=p∣a∣=p
博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。
- 先從特殊的有限交換群–循環群開始：循環群G=<a>,∣G∣=n，G=<a>,|G|=n，G=<a>,∣G∣=n，對于?m∣n,?H≤G,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,?m∣n,?H≤G,使得∣H∣=m|H|=m∣H∣=m
證明：m∣n→n=mtm\mid n\rightarrow n=mtm∣n→n=mt，由此構造子群
b=at,?a∈G,bm=(at)m=atm=an=eb=a^t,\forall a\in G,\\b^m=(a^t)^m=a^{tm}=a^n=eb=at,?a∈G,bm=(at)m=atm=an=e
則H=<b>,∣H∣=mH=<b>,|H|=mH=<b>,∣H∣=m
設GGG為有限交換群，∣G∣=n=pm,p|G|=n=pm,p∣G∣=n=pm,p為素數，?a∈G,{\exists}a\in G,?a∈G,使得∣a∣=p|a|=p∣a∣=p
證明：數學歸納法
（1） 當m=1m=1m=1時，∣G∣=n=p|G|=n=p∣G∣=n=p，由素數階群是循環群得GGG是循環群，那么就可以用G=<a>G=<a>G=<a>表示。
∣G∣=∣<a>∣=p→ap=e,∣a∣=p|G|=|<a>|=p\\\rightarrow a^p=e,|a|=p∣G∣=∣<a>∣=p→ap=e,∣a∣=p
（2） 假設在小于mmm時結論成立；
（3） 證明mmm時結論成立：
構造子群H=<a>,?a∈G&a≠e;→∣H∣∣∣G∣=pm→∣H∣∣p，or∣H∣∣m，or(∣H∣∣m,∣H∣∣p)H=<a>,\forall a\in G \&a\neq e;\rightarrow |H|\mid |G|=pm\rightarrow |H|\mid p， or |H| \mid m，or (|H|\mid m,|H|\mid p)H=<a>,?a∈G&a?=e;→∣H∣∣∣G∣=pm→∣H∣∣p，or∣H∣∣m，or(∣H∣∣m,∣H∣∣p)
我本來想分類成∣H∣∣p|H|\mid p∣H∣∣p和∣H∣?p|H|\nmid p∣H∣?p，但是在s=∣H∣?ps=|H|\nmid ps=∣H∣?p時無法推出(∣H∣,p)=1,(|H|,p)=1,(∣H∣,p)=1,因為有可能∣H∣=kp>p|H|=kp>p∣H∣=kp>p；
所以改成p∣∣H∣p\mid |H|p∣∣H∣和p?∣H∣,p?∣H∣→∣H∣≠p,∣H∣?p→(∣H∣,p)=1p\nmid |H|,p\nmid |H|\rightarrow |H|\neq p,|H|\nmid p\rightarrow (|H|,p)=1p?∣H∣,p?∣H∣→∣H∣?=p,∣H∣?p→(∣H∣,p)=1
-
（i） p∣∣H∣p\mid |H|p∣∣H∣，
由前一個小定理：循環群G=<a>,∣G∣=n，G=<a>,|G|=n，G=<a>,∣G∣=n，對于?m∣n,?H≤G,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,?m∣n,?H≤G,使得∣H∣=m|H|=m∣H∣=m 得到：- 對于H=<a>H=<a>H=<a>這個循環群，p∣∣H∣p\mid |H|p∣∣H∣，那么?H′≤H,∣H′∣=p{\exists}H'\le H,|H'|=p?H′≤H,∣H′∣=p
- 根據循環群的子群也是循環群知：H′H'H′是循環群，H′=<b>,b∈H′?H?GH'=<b>,b\in H'\subset H\subset GH′=<b>,b∈H′?H?G
- 那么∣H′∣=p→∣<b>∣=p→bp=e,∣b∣=p,b∈G|H'|=p\rightarrow |<b>|=p\rightarrow b^p=e,|b|=p,b\in G∣H′∣=p→∣<b>∣=p→bp=e,∣b∣=p,b∈G
-
（ii）p?∣H∣p\nmid |H|p?∣H∣
-
構造商群(滿足第（2）條)：Gˉ=G/H\bar{G}=G/HGˉ=G/H，那么∣Gˉ∣=∣G∣∣H∣=pm∣H∣=p?m∣H∣|\bar{G}|=\frac{|G|}{|H|}=\frac{pm}{|H|}=p·\frac{m}{|H|}∣Gˉ∣=∣H∣∣G∣?=∣H∣pm?=p?∣H∣m?
令m′=m∣H∣m'=\frac{m}{|H|}m′=∣H∣m?，因為p?∣H∣→∣H∣?p,∣H∣∣mp→∣H∣∣mp\nmid |H|\rightarrow |H|\nmid p,|H|\mid mp\rightarrow |H|\mid mp?∣H∣→∣H∣?p,∣H∣∣mp→∣H∣∣m，則m′m'm′為正整數。 -
∣H∣∣m→1<∣H∣≤m→m∣H∣=m′,1≤m′<m→∣Gˉ∣=pm′，m′<m，|H|\mid m\\\rightarrow 1<|H|\le m\\\rightarrow \frac{m}{|H|}=m',1\le m'<m\\\rightarrow |\bar{G}|=pm'，m'<m，∣H∣∣m→1<∣H∣≤m→∣H∣m?=m′,1≤m′<m→∣Gˉ∣=pm′，m′<m，符合第 （2） 條→?b∈G,bH∈Gˉ,\\\rightarrow {\exists}b \in G,bH\in \bar{G},→?b∈G,bH∈Gˉ,使得∣bH∣=p,|bH|=p,∣bH∣=p,即(bH)p=eGˉ=e{bH:b∈G}=H→(bH)p=H(bH)^p=e_{\bar{G}}=e_{\{bH:b\in G\}}=H\\\rightarrow (bH)^p=H(bH)p=eGˉ?=e{bH:b∈G}?=H→(bH)p=H，且H≤GH\le GH≤G為有限交換群→bp∈H\\\rightarrow b^p\in H→bp∈H
-
假設∣H∣=s,|H|=s,∣H∣=s,即∣H∣=∣<a>∣=s→as=eH=eG=e,bp∈H→(bp)s=e→(bs)p=e|H|=|<a>|=s\\\rightarrow a^s=e_H=e_G=e,b^p\in H\\\rightarrow (b^p)^s=e\\\rightarrow (b^s)^p=e∣H∣=∣<a>∣=s→as=eH?=eG?=e,bp∈H→(bp)s=e→(bs)p=e
-
現在已經找到階可能為ppp的元素，要證其階確實為ppp，還需證bs≠eb^s\neq ebs?=e和?d<p,\forall d<p,?d<p,不滿足(bs)d=e(b^s)^d=e(bs)d=e
-
bs≠eb^s\neq ebs?=e：
反證：假設bs=eb^s=ebs=e，
p?∣H∣→p?∣H∣=s→s≠p→s?p→(s,p)=1→?k,l∈Z,sk+pl=1→b=bsk+pl=(bs)k?(bp)l=ek?(bp)l=(bp)l∈Hp\nmid |H|\\\rightarrow p\nmid |H|=s\\\rightarrow s\neq p\\\rightarrow s\nmid p\\\rightarrow (s,p)=1\\\rightarrow {\exists}k,l\in Z,sk+pl=1\\\rightarrow b=b^{sk+pl}=(b^s)^k·(b^p)^l=e^k·(b^p)^l=(b^p)^l\in Hp?∣H∣→p?∣H∣=s→s?=p→s?p→(s,p)=1→?k,l∈Z,sk+pl=1→b=bsk+pl=(bs)k?(bp)l=ek?(bp)l=(bp)l∈H
b≠Hb\neq Hb?=H，因為b∈H→bH=H→p=∣bH∣=∣H∣=sb\in H\rightarrow bH=H\rightarrow p=|bH|=|H|=sb∈H→bH=H→p=∣bH∣=∣H∣=s，與p≠sp\neq sp?=s矛盾。 -
?d<p,\forall d<p,?d<p,不滿足(bs)d=e(b^s)^d=e(bs)d=e：
反證：假設?d<p,{\exists}d<p,?d<p,滿足(bs)d=e(b^s)^d=e(bs)d=e
有d∣p,d\mid p,d∣p,因為
d?p→(d,p)=1→?x,y∈Z,dx+py=1→bs=(bs)dx+py=((bs)d)x?((bs)p)y=ex?ey=ed\nmid p \\\rightarrow (d,p)=1\\\rightarrow {\exists}x,y\in Z,dx+py=1\\\rightarrow b^s=(b^s)^{dx+py}=((b^s)^d)^x·((b^s)^p)^y=e^x·e^y=ed?p→(d,p)=1→?x,y∈Z,dx+py=1→bs=(bs)dx+py=((bs)d)x?((bs)p)y=ex?ey=e與bs≠eb^s\neq ebs?=e矛盾
d∣p→d=p,or,d=1→(bs)p=e,or,(bs)1=e,d\mid p\\\rightarrow d=p,or, d=1\\\rightarrow (b^s)^p=e,or, (b^s)^1=e,d∣p→d=p,or,d=1→(bs)p=e,or,(bs)1=e,又bs≠e→(bs)p=eb^s\neq e\\\rightarrow (b^s)^p=ebs?=e→(bs)p=e
即我們假設?d<p{\exists}d<p?d<p，使得(bs)d=e(b^s)^d=e(bs)d=e推出的還是(bs)p=e(b^s)^p=e(bs)p=e
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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