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初等数论--同余方程--二元一次不定方程的通解形式

發布時間：2025/3/21 编程问答 42 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了初等数论--同余方程--二元一次不定方程的通解形式小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

初等數論--同余方程--二元一次不定方程的通解形式

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

不定方程：變量個數>方程個數

若二元一次不定方程 $a x + b y = n$ 有解， $x_0,y_0$ 為它的一組整數解，則通解為 ${x=x0+b(a,b)?ty=y0?a(a,b)?tt∈Z\left\{ \begin{aligned} x & = & x_0+\frac{(a,b)}·t \\ y & = & y_0-\frac{a}{(a,b)}·t \end{aligned} t\in Z \right.$

證明：

該形式確實是二元一次方程的解

將 $x, y$ 代入原方程，得：
$a(x0+b(a,b)?t)+b(y0?a(a,b)?t)=ax0+ab(a,b)?t+by0?ba(a,b)?t=ax0+by0=na(x_0+\frac{(a,b)}·t)+b(y_0-\frac{a}{(a,b)}·t)\\ =ax_0+a\frac{(a,b)}·t+by_0-b\frac{a}{(a,b)}·t\\ =ax_0+by_0\\ =n$

二元一次不定方程的解都可以表達成這種形式

已知 ${ax+by=nax0+by0=n\left\{ \begin{aligned} ax+by=n \\ ax_0+by_0=n \end{aligned} \right.$
聯立方程，相減得
$a(x?x0)+b(y?y0)=0a(x?x0)=?b(y?y0)a(a,b)(x?x0)=?b(a,b)(y?y0)a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\\ a(x-x_0)=-b(y-y_0)\\ \frac{a}{(a,b)}(x-x_0)=-\frac{(a,b)}(y-y_0)$
因為 $a(a,b)?b(a,b),且b(a,b)∣a(a,b)(x?x0),\frac{a}{(a,b)}\nmid \frac{(a,b)},且\frac{(a,b)}\mid \frac{a}{(a,b)}(x-x_0),$ 所以 $b(a,b)∣x?x0\frac{(a,b)}\mid x-x_0$ ,即 $x?x0=b(a,b)?tx-x_0=\frac{(a,b)}·t$
同理， $a(a,b)∣y?y0\frac{a}{(a,b)}\mid y-y_0$ ,即 $y?y0=?a(a,b)?ty-y_0=-\frac{a}{(a,b)}·t$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--同余方程--二元一次不定方程的通解形式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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