文章目錄

• 復雜性理論基本概念
• • 問題(problem)
  • 算法
  • 算法復雜性
  • 算法分類
  • 問題復雜性
  • • 圖靈機
    • 圖靈機分類
    • 問題復雜性
    • • P問題
      • NP問題
      • NP完全問題(NPC問題)
      • 總結
• 密碼學復雜性理論假設
• • 單向函數(OWF)
  • 偽隨機生成器(PRG)
  • • 真隨機數生成
    • 偽隨機數生成器(PRG)
    • • 構造偽隨機生成器
      • 測試偽隨機性的方法
  • 單向函數與偽隨機生成器的關系
  • 總結

復雜性理論基本概念

問題(problem)

??①需要回答的一般性提問

??②含有若干未定參數：

???如果給問題的所有參數指定了具體值，就得到該問題的一個實例。

算法

?①求解某一個問題的一系列具體步驟。

??例如：高斯消元法、歐幾里得算法

?②如果一個算法可以解決一個問題的任何一個實例，則這個算法可以解答這個問題。

?③如果針對一個問題，至少存在一個算法可解答這個問題，則這個問題是可解的(resolvable)；否則，是不可解的(unresolvable)。例如：停機問題、希爾伯特第十問題。

算法復雜性

?①一般由算法所需求的**最大時間(T)和存儲空間(S)**度量。

?②同一問題，不同規模，時間與空間上存在差異。

??時間與空間表示成實例的規模n的函數

?③符號"大O"(Big O)

?④用數量級度量復雜度的優點：

??刻畫時間與空間的需求受輸入長度變化的影響；

??與所用處理系統無關

算法分類

?①多項式時間算法：O(n^t)：其中t為常數，n為輸入規模。

?②指數時間算法：O(t^h(n))：其中h(n)為多項式。

?③當h(n)大于常數而低于線性函數時，稱為超多項式時間算法。

?④多項式時間算法可認為是有效的。

問題復雜性

圖靈機

?①一條無限長的紙帶TAPE。紙帶被劃分為一個接一個的小格子，每個格子上包含一個來自有限字母表的符號。

?②一個讀寫頭HEAD。該讀寫頭可以在紙帶上左右移動，它能讀出當前所指的格子上的符號，并能改變當前格子上的符號。

?③一套控制規則TABLE。它根據當前機器所處的狀態以及當前讀寫頭所指的格子上的符號來確定讀寫頭下一步的動作，并改變狀態寄存器的值，令機器進入一個新的狀態。

?④一個狀態寄存器。它用來保存圖靈機當前所處的狀態。圖靈機的所有可能狀態的數目是有限的，并且有一個特殊的狀態，稱為停機狀態。

圖靈機分類

?①確定型圖靈機(DTM)：每一步操作結果的唯一確定的；

?②非確定型圖靈機(NTM)：每一步的操作及結果不是唯一的，可能是多種選擇；

問題復雜性

?一個問題的復雜性由在圖靈機上解決此問題的最難的實例所需的最小的時間和空間決定。

P問題

?確定型圖靈機上可用多項式時間可解的問題，稱為易處理的。易處理問題的全體稱為確定性多項式時間可解類。

?補充：在確定型圖靈機上不能用多項式時間系統地解出的問題，稱為難處理的。

NP問題

?在非確定型圖靈機上可用多項式時間可解的問題，稱為非確定性多項式時間可解問題。

?①NP問題的全體稱為非確定性多項式時間可解類，記為NP。

?②求解過程：猜測、驗證

?③所謂可解指的是，若機器猜測一個解，可在多項式時間內驗證其正確性。

例如：背包問題(子集合問題)、可滿足問題

NP完全問題(NPC問題)

?一個問題是NP完全的，如果NP中的任何一個問題都是可以在多項式時間內轉化為該問題。

?①NP完全問題是NP中**"最難"的問題**

總結

P類問題：能在多項式時間內可解的問題；

NP類問題：在多項式時間內“可驗證”的問題。也就是說，不能判定這個問題到底有沒有解，而是猜出一個解來在多項式時間內證明這個解是否正確。

NPC問題：存在這樣一個NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。換句話說，只要解決了這個問題，那么所有的NP問題都解決了。

P問題屬于NP問題，但不等于

密碼學復雜性理論假設

單向函數(OWF)

偽隨機生成器(PRG)

隨機性：均勻、獨立、不可預測

真隨機數生成

?一般通過測量不可預測的物理過程實現：電離輻射的脈沖檢測

?缺點：效率低、成本高

偽隨機數生成器(PRG)

?確定性算法，輸入固定長度的真隨機數(種子)，輸出任意長度的字符串，且輸出字符串的分布與均勻分布計算上不可區分。但并不能增加熵。

構造偽隨機生成器

利用流密碼、分組密碼、Hash函數、公鑰密碼等

測試偽隨機性的方法

?①統計測試(必要不充分條件)

??16項檢測：頻率測試、序列測試、游程測試、自相關測試等

?②可證明安全的偽隨機生成器：基于數學困難問題的構造

??Blun-Micali偽隨機數生成器：

??安全性基于破譯RSA體制的困難性：

??二次剩余生成器：

單向函數與偽隨機生成器的關系

?①利用單向函數可構造偽隨機生成器

?②利用**偽隨機函數(PRF)**構造安全MAC

總結

總結

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