1736年歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題。他在這一具體問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，最終找到了一個簡便的原則可以鑒別一個圖(多重圖)能否一筆畫成。

本文中，筆者使用布爾矩陣來存儲一個無向圖，并結(jié)合集合論中“傳遞閉包”的概念給出了一種歐拉圖的判定方法。

本文旨在給初學(xué)者提供一種可行解，第一次發(fā)文，筆者技藝不精，若文章中有錯誤之處，還望各位同仁能夠海涵，希望與大家共同進(jìn)步。

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一些概念的解釋：

包含圖的所有頂點(diǎn)和所有邊的閉跡成為歐拉閉跡。

存在一條歐拉閉跡的圖成為歐拉圖。

若$R$是集合$X$上的一個二元關(guān)系，則$X$上的所有包含$R$的傳遞關(guān)系的交稱為$R$的傳遞閉包，用$R{}^{+}$表示。即：$$R{}^{+}=\underset{R?R\text{’}}{?}R\text{’}\left(\text{其}\text{中}R\text{’}\text{傳}\text{遞}\right)$$亦即$R{}^{+}$是包含$R$的傳遞關(guān)系中最小的那個。

Warshall算法是1962年由Warshall提出的一種計算關(guān)系傳遞閉包的十分有效的算法，將在下文詳細(xì)說明。

注：本文中說的圖都是指無向圖

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歐拉圖的判斷

在王義和編著的《離散數(shù)學(xué)引論》(第三版)中，給出了一個圖$G$是歐拉圖的充要條件：

圖$G$是一個歐拉圖當(dāng)且僅當(dāng)$G$是連通的且每個頂點(diǎn)的度都是偶數(shù)。

因此，歐拉圖的判斷可分為兩步：先判斷圖是否連通，再依次檢查每一個頂點(diǎn)的度是否為偶數(shù)即可。

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布爾矩陣與無向圖

在集合論中，我們曾經(jīng)使用布爾矩陣來存儲一個二元關(guān)系。一個無向圖也可看做非空頂點(diǎn)集$V$上的一個反自反且對稱的二元關(guān)系，因此也可使用布爾矩陣來存儲一個無向圖。

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連通圖與傳遞閉包

圖$G$是一個連通圖，當(dāng)且僅當(dāng)圖中任兩個不同頂點(diǎn)間至少有一條路連接。

設(shè)圖$G=(U,V)$是一個連通圖，$R?V\times V$是圖$G$對應(yīng)的二元關(guān)系，$R{}^{+}$是關(guān)系$R$的傳遞閉包。對$?u,v\in V$，
如果$u,v$鄰接，則$(u,v),(v,u)\in R,$ 又$R?R^{+}$ 從而$(u,v),(v,u)\in R{}^{+}$；
如果$u,v$不鄰接，由于$G$ 是連通圖，$u,v$之間必存在一條路$$u,u{}_1,u{}_2,......,u{}_n,v$$
那么序?qū)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$(u,u_1),(u_1,u_2),......,(u_n,v)\in R$，而$R^{+}$又是包含$R$的最小傳遞關(guān)系，因此$(u,v)\in R^{+}$，由對稱性，$(v,u)\in R^{+}$。
而對于圖$G$中某點(diǎn)$u$自身，$u$不可能是孤立點(diǎn)，因此一定有某點(diǎn)$v$與之鄰接，因此$(u,v),(v,u)\in R$，從而$(u,u)\in R^{+}$。

由此我們可以得出結(jié)論：一個連通圖自身對應(yīng)的二元關(guān)系 $R$ 的傳遞閉包$R^{+}$ 包含了頂點(diǎn)集$V$上的所有二元序?qū)Α＿@在$R^{+}$的布爾矩陣中表現(xiàn)為：所有位置上的值均為1，沒有出現(xiàn)0的位置。如果$R^{+}$某一個位置上的值為0，那么說明這個位置對應(yīng)的兩個頂點(diǎn)之間必?zé)o路連接。

因此，判斷一個圖是否是無向圖，只需求出它的傳遞閉包，再遍歷所有位置看是否有0即可。

下面的問題就只剩下，如何求解傳遞閉包？

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Warshall算法

在王義和編著的《離散數(shù)學(xué)引論》(第三版)中，給出了傳遞閉包$R^{+}$的一個計算公式：

設(shè)$X$為$n$元集，$R$為$X$上的二元關(guān)系，則$$R{}^{+}=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}R{}^i。$$

在此基礎(chǔ)上，Warshall提出了一種傳遞閉包的算法，在《離散數(shù)學(xué)引論》中也給出了其形式化描述：
(由矩陣$B$計算其傳遞閉包$B^{+}$)

1.$A\leftarrow B;$
2.$k\leftarrow 1;$
3.$i\leftarrow 1;$
4.如果$a_{ik}=1$，則對$j=1,2,...,n$ 做 $a_{ij}\leftarrow a_{ij}\vee a_{kj};$
5.$i\leftarrow i+1$，$if\text{??}i\le n\text{??}then\text{??}goto\text{??}4；$
6.$k\leftarrow k+1$，$if\text{??}k\le n\text{??}then\text{??}goto\text{??}3\text{??}else\text{??}\text{停};$
這個算法結(jié)束時，$A$中就是矩陣$B^{+}$中的全部元素。

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程序代碼

對一個圖$G$，在程序中只需利用Warshall算法求出它的傳遞閉包，再檢查所有位置中是否有0即可判斷這個圖的連通性。如果是連通圖，在此基礎(chǔ)上再檢查每一個頂點(diǎn)的度的奇偶性即可判斷這個圖是否是歐拉圖。

需要注意的是，存儲無向圖時，布爾矩陣應(yīng)該表示為一個對稱的、主對角線上全是0的矩陣。

最后在此附上沒有使用C99特性的C語言代碼：

/*程序功能：輸入圖G，判斷G是否是歐拉圖 *程序輸入：第1行包括兩個整數(shù)N和M，分別表示圖G中的頂點(diǎn)個數(shù)和邊的個數(shù)(N<100) * 接下來的M行中每行包括兩個整數(shù),表示鄰接的兩個點(diǎn)的序號 *程序輸出：如果G是歐拉圖，則輸出Yes，否則輸出No */#include <stdio.h> #define MAX_SIZE 100//華沙算法判斷圖是否連通，連通返回1，否則返回0 //傳入?yún)?shù)為待判定的圖的布爾矩陣和矩陣的大小 int isConnected(int graph[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int n) {int i, j, k;int a[MAX_SIZE][MAX_SIZE];//先拷貝矩陣graph到a中，防止后續(xù)操作修改原矩陣for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++){a[i][j] = graph[i][j];}}//華沙算法求傳遞閉包，結(jié)果放在矩陣a中for (k = 0; k < n; k++){for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++){if (a[i][k]){a[i][j] = a[i][j] || a[k][j];}//a[i][j] = a[i][j] || (a[i][k] && a[k][j]);}}}//連通圖對應(yīng)關(guān)系的傳遞閉包應(yīng)該全1for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++){if (a[i][j] == 0){return 0;}}}return 1; }int main() {int N, M;int i, j;int Graph[MAX_SIZE][MAX_SIZE] = {0};int v1, v2; //臨時存儲兩個頂點(diǎn)序號int deg[MAX_SIZE] = {0}; //存儲每個頂點(diǎn)的度printf("Input the number of dots and edges:\n");scanf("%d%d", &N, &M);printf("Input the edges:\n");for (i = 0; i < M; i++){scanf("%d%d", &v1, &v2);Graph[v1-1][v2-1] = Graph[v2-1][v1-1] = 1;}//先判斷圖G是否連通if (!isConnected(Graph, N)){printf("No\n");return 0;}//再判斷圖G中每個頂點(diǎn)的度是否均為偶數(shù)for (i = 0; i < N; i++){for (j = 0; j < N; j++){deg[i] += Graph[i][j];}if (deg[i] % 2 == 1) //如果有度為奇數(shù)的點(diǎn)直接輸出No{printf("No\n");return 0;}}printf("Yes\n");return 0; }

參考文獻(xiàn)：王義和《離散數(shù)學(xué)引論》(第三版)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基于Warshall算法的连通图及欧拉图判定方法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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