一、歐幾里德算法

又稱輾轉相除法，用于計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd（a,b）=gcd（b，r），即gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

整除：

若整數a除以非零整數b，商為整數，且余數為零，我們就說a能被b整除（或說b能整除a），a為被除數，b為除數，即b|a（“|”是整除符號），讀作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍數，b叫做a的約數（或因數）。

證明（法一）：

若a可以表示為a=kb+r，則r=a mod b；

假設d是a，b的一個公約數，則有d|a，d|b，而r=a-kb，因此d|r，因此d是（b，a mod b）的公約數；

假設d是（b，a mod b）的公約數，則d|b，d|r，但是a=kb+r，因此d|a，所以d也是（a，b）的公約數；

因此，（a，b）和（b，a mod b）的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，即gcd（a,b）=gcd（b，r）。

證明（法二）：

假設c是a，b的最大公約數，即c=gcd（a，b），則有a=mc，b=nc，其中m，n為正整數，且m，n互為質數；

由r=a mod b可知，r=a-qb，其中q是正整數，則r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c；

b=nc，r=（m-qn）c，且n，m-qn互質

（假設n，m-qn不互質，則n=xd，m-qn=yd，其中x，y，d都是正整數，且d>1，則a=mc=（yd+qn）c=（yd+qxd）c=（qx+y）dc，b=xdc，這時a，b的最大公約數變成dc，與前提矛盾，所以n，m-qn一定互質）

則gcd（b，r）=c=gcd（a，b）

二、擴展歐幾里德算法

基本算法：對于不完全為0的非負整數a，b，必存在整數對x，y，使得gcd（a，b）=ax+by。

證明：

設a>b

1、當b=0時，gcd（a，b）=a。此時x=1，y=0;

2、ab！=0時，設

? ? ?a x1+b y1=gcd（a，b）；b x2+（a mod b） y2=gcd（b，a mod b）；

? ? ?根據樸素的歐幾里德原理有gcd（a，b）=gcd（b，a mod b）；

? ? ?則：a x1+b y1 =b x2+（a mod b）y2；

? ? ?即：a x1+b y1 =b x2+（a-（a/b）*b）y2=a y2+b x2-（a/b）+b y2；

? ? ?根據恒定定理得：x1=y2，y1=x2-（a/b）* y2；

? ? ?這樣我們就得到了求解x1，y1的方法：x1，y1的值基于x2，y2。

? ? ?上面的思想是以遞歸定義的，因為gcd不斷的遞歸求解一定會有個時候b=0，所以遞歸可以結束。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧几里德与扩展欧几里德算法——密码学笔记（五）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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