圖形的對稱、平移、旋轉與位似是初中數學中幾種重要的圖形變換問題,也是各地中考的難點．解決這類問題需在平面直角坐標系中作出變換的圖形，或根據圖形變換求點的坐標；需要綜合運用圖形變換的性質特征,運用點的坐標的變化規律,根據圖形的性質找到各點對應點的位置,從而得到解決問題的途徑和方法．

下面舉一例，對坐標系中圖形變換的規律進行剖析．

題目 如圖1,在平面直角坐標系中,?ABC的三個頂點都在格點上,點A的坐標為(2,4),請解答下列問題:

(1)畫出?ABC關于y軸對稱的?A1B1C1,并寫出點A1的坐標;

(2)將?A1B1C1先向下平移2個單位,再向右平移5個單位,得到?A2B2C2,畫出這個三角形,并說出點A2的坐標;

(3)以圓心O為位似中心作出?A2B2C2的位似圖形?A3B3C3,要求?A2B2C2與?A3B3C3的相似比為2∶1.

解析 這道例題可分以下三步來思考.

對稱規律是:點P(x,y)關于x軸對稱的點P1的坐標為(x,-y);關于y軸對稱的點P2的坐標為(-x,y);關于原點對稱的點P3的坐標為(-x,y-y).可歸納為:與 誰對稱誰不變,另一個變號,關于原點對稱,橫變縱也變.

方法一 如圖2所示,根據軸對稱圖形的對應點的連線段被對稱軸垂直平分的性質,找出A、B、C三點關于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置；再順次連接,可得關于y軸對稱的圖形?A1B1C1；然后根據圖形寫出點A1的坐標(-2,4)．

方法二 根據圖形和點A的坐標(2,4),分別找出點B和點C的坐標B(1,2)、C(5,3)；再根據軸對稱規律,分別找出A、B、C三點關于y軸的對稱點的坐標A1(-2,4)、B1(-1,2)、C1(-5,3),然后順次連結,可得關于y軸對稱的圖形?A1B1C1．

2.關于平移

平移規律是:左右移動時,橫坐標左減右加,縱坐標不變;上下移動時,縱坐標上加下減,橫坐標不變．

1.關于軸對稱和中心對稱

方法二 觀察圖形和A1點的坐標(-2,4),根據點的平移規律“左減右加、上加下減”直接計算,得A2(-2+5,4-2)即A2(3,2),B2(-1+5,2-2)，即B2(4,0),C2(-5+5,3-2)，即C2(0,1)．由坐標確定點A2、B2、C2的位置,再順次連結,可得平移的圖形?A2B2C2．

3.關于位似變換

位似的規律:兩個位似圖形是指它們的每組對應點所在的直線都經過同一點的特殊的相似圖形．

觀察?A2B2C2.若以以原點為位似中心,相似比是2∶1,則由(2)中A2的坐標(3,2),它的對應點A3的坐標就是(kx,ky)或(-kx,-ky).這里

求出A3(1.5,1)或A3′(-1.5,-1).同理求出B3(B3′),C3(C3′)的坐標,合理連線(如圖2),?A3B3C3和?

即為符合要求的位似圖形．

總結 利用圖形變化確定點的坐標,關鍵是掌握點的坐標的變化規律,根據圖形的性質找到各點的對應點位置,順次連結可得變化后的圖形．

下面歸納出各種變換的特點和變換方法.

對稱變換 成軸對稱的兩個圖形中,其中一個圖形上的所有點關于對稱軸的對稱點都在另一個圖形上,軸對稱圖形的對應點的連線段被對稱軸垂直平分．對應線段相等,對應角相等．對應線段或其延長線相交,那么交點在對稱軸上．

旋轉變換 圖形通過旋轉,圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度.任意一對對應點與旋轉中心的連線的夾角都與旋轉角相等,對應點到旋轉中心的距離相等,對應線段相等,對應角相等.旋轉過程中,圖形的形狀、大小都沒有發生變化．

平移變換 圖形的平移包含兩要素,一是平移的方向；二是平移的距離.判斷平移的時候,只需要沿平移的“路徑”進行平移便可確定其兩要素．

在平面直角坐標系中,如果把一個圖形向左或向右平移a(a>0)個單位長度,那么圖形上各個點的橫坐標都減或加a;如果把一個圖形向上或向下平移a(a>0)個單位長度,那么圖形上各個點的縱坐標都加或減去a．

位似變換 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比,兩個位似圖形的周長的比等于位似比,面積的比等于位似比的平方．如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k；點(x,y)的對應點的坐標是(kx,ky)或(-kx,-ky).根據位似比找出另一個圖形的關鍵點．

位似圖形是相似圖形的特例,不僅要求形狀形同,而且還要求對應點的連線相交于同一點.因此位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.可能在圖形的中間、兩個圖形的同一側或圖形上．作一個圖形的位似圖形的基本步驟是:選定位似中心——連點——延長——截倍(分)等,而得到放大或縮小的圖形,新圖形與原圖形就是位似圖形．

總結

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