一、平衡二叉樹

1.1 什么是平衡二叉樹？

規(guī)定在插入和刪除二叉樹結(jié)點(diǎn)時(shí)，要保證任意結(jié)點(diǎn)的左、右子樹高度之差的絕對(duì)值不可以超過1

平衡因子：結(jié)點(diǎn)左子樹和右子樹的結(jié)點(diǎn)高度差為該結(jié)點(diǎn)的平衡因子，也就是說平衡樹的平衡因子只可能是-1,0,1

如下圖，結(jié)點(diǎn)53左子樹高度為3，右子樹高度為2，所以結(jié)點(diǎn)53的平衡因子為1

1.2 為什么需要平很二叉樹？

為了避免樹的高度增長過快，降低二叉樹的性能

如下圖，左邊的圖的最壞查找情況為O(n)，而右邊圖的最壞查找情況為O(logn)

1.3 平衡二叉樹的機(jī)制？

總綱：調(diào)整過程應(yīng)該是自下而上的

無論是插入還是刪除，改變一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位置就會(huì)導(dǎo)致一棵二叉樹的平衡因子改變。因此，在每插入或者刪除一個(gè)結(jié)點(diǎn)之后，需要重新計(jì)算二叉樹各個(gè)結(jié)點(diǎn)的平衡因子。若右結(jié)點(diǎn)的平衡因子大于1，那么需要調(diào)整這棵二叉樹為平衡二叉樹。當(dāng)該樹再次稱為平衡二叉樹之后，再進(jìn)行下一步的插入或刪除操作。

1. LL型

口訣：左失衡，中為支，高右旋

解釋：如果對(duì)于LL型二叉樹轉(zhuǎn)為平衡二叉樹不是很了解，背口訣套就是了。但是，終究要了解為什么這么做。在這一步的過程中，其實(shí)不需要死記硬背，只需要記住每一步的調(diào)整滿足二叉排序的性質(zhì)和定義，然后從整棵二叉樹分析，在{20,23,45}，平衡因子在結(jié)點(diǎn)45時(shí)絕對(duì)值大于1，這么調(diào)整{20,23,45}為一棵平衡二叉樹。顯然，讓中間結(jié)點(diǎn)23（23大于20且小于45）作為根，結(jié)點(diǎn)20和結(jié)點(diǎn)45分別作為結(jié)點(diǎn)23的左右孩子結(jié)點(diǎn)，符合調(diào)整意圖

調(diào)整過程如下圖所示

2. RR型

口訣：右失衡，中為支，高左旋

解釋：同樣的道理。從整棵二叉樹分析，在{65,70,75}，平衡因子在結(jié)點(diǎn)65時(shí)絕對(duì)值大于1，這么調(diào)整{65,70,75}為一棵平衡二叉樹。顯然，讓中間結(jié)點(diǎn)70（70大于65且小于75）作為根，結(jié)點(diǎn)65和結(jié)點(diǎn)75分別作為結(jié)點(diǎn)70的左右孩子結(jié)點(diǎn)，符合調(diào)整意圖

調(diào)整過程如下圖所示

3. LR型

口訣：下二整體左旋，后與LL型調(diào)整一樣

解釋：下二整體左旋的目的就是在局部形成類似LL型失衡情況一樣。在這一步的過程中（下二整體左旋），同樣不需要死記硬背，只要滿足一棵二叉排序樹就可以。比如下圖的操作，將結(jié)點(diǎn)25作為結(jié)點(diǎn)23的雙親結(jié)點(diǎn)，同時(shí)，23比25小，所以結(jié)點(diǎn)23是結(jié)點(diǎn)25的左孩子結(jié)點(diǎn)。此時(shí)，整棵樹就是LL型的二叉樹

調(diào)整過程如下圖所示

4. RL型

口訣：下二整體右旋，后與RR型調(diào)整一樣

解釋：下二整體右旋的目的就是在局部形成類似RR型失衡情況一樣。在這一步的過程中，將結(jié)點(diǎn)68作為結(jié)點(diǎn)70的雙親結(jié)點(diǎn)，同時(shí)，70比68大，所以結(jié)點(diǎn)70是結(jié)點(diǎn)68的右孩子結(jié)點(diǎn)。此時(shí)，整棵樹就是RR型的二叉樹，做RR調(diào)整就可以了

調(diào)整過程如下圖所示

二、哈夫曼樹

1.1 什么是哈夫曼樹？

給定N個(gè)權(quán)值作為N個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，構(gòu)造一棵二叉樹，若該樹的帶權(quán)路徑長度達(dá)到最小，稱這樣的二叉樹為最優(yōu)二叉樹，也稱為哈夫曼樹

在深入了解哈夫曼樹之前，我們需要先知道一些必要的基本概念。

路徑和路徑長度：在一棵樹中，從一個(gè)結(jié)點(diǎn)往下可以達(dá)到的孩子或?qū)O子結(jié)點(diǎn)之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數(shù)目稱為路徑長度。若規(guī)定根結(jié)點(diǎn)的層數(shù)為1，則從根結(jié)點(diǎn)到第L層結(jié)點(diǎn)的路徑長度為L-1。

結(jié)點(diǎn)的權(quán)及帶權(quán)路徑長度：若將樹中結(jié)點(diǎn)賦給一個(gè)有著某種含義的數(shù)值，則這個(gè)數(shù)值稱為該結(jié)點(diǎn)的權(quán)。結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長度為：從根結(jié)點(diǎn)到該結(jié)點(diǎn)之間的路徑長度與該結(jié)點(diǎn)的權(quán)的乘積。

樹的帶權(quán)路徑長度：樹的帶權(quán)路徑長度規(guī)定為所有葉子結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長度之和，記為WPL(Weighted Path Length)。

如下圖：

圖a：$WPL=7?2+5?2+2?2+4?2=36$

圖b：$WPL=7?3+5?3+2?1+4?2=46$

圖c：$WPL=7?1+5?2+2?3+4?3=35$

比較得知：圖c中樹的WPL最小，所以圖3為一棵哈夫曼樹

1.2 為什么使用哈夫曼樹？

在計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理中，哈夫曼編碼使用變長編碼表對(duì)源符號(hào)進(jìn)行編碼，其中變長編碼表是通過一種評(píng)估來源符號(hào)出現(xiàn)機(jī)率的方法得到的，出現(xiàn)機(jī)率高的字母使用較短的編碼，反之出現(xiàn)機(jī)率低的則使用較長的編碼，這便使編碼之后的字符串的平均長度、期望值降低，從而達(dá)到無損壓縮數(shù)據(jù)的目的。

簡單的來說，就按出現(xiàn)的頻率不同，把高頻率出現(xiàn)的目標(biāo)放在距離根結(jié)點(diǎn)近的位置，低頻率出現(xiàn)的目標(biāo)放在距離根結(jié)點(diǎn)源的位置，這樣就使得查找效率提高。

1.3 如何使用哈夫曼樹？

給定n個(gè)權(quán)值分別為 $w_1,w_2,\dots ，w_n$ 的結(jié)點(diǎn)，通過哈夫曼算法可以構(gòu)造出最優(yōu)二叉樹。

將這n個(gè)結(jié)點(diǎn)分別作為n棵僅含一個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，構(gòu)成森林。

構(gòu)成一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，從森林中選取兩棵根結(jié)點(diǎn)最小的樹作為新結(jié)點(diǎn)的左、右子樹，并且將新結(jié)點(diǎn)的的權(quán)值置為左、右子樹上根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值和

從森林中刪除步驟2選出的樹，同時(shí)將新得到的樹放入森林中

重復(fù)步驟2和3，直到森林中只剩下一棵樹

哈夫曼樹有如下特點(diǎn)：

每個(gè)初始結(jié)點(diǎn)最終都成為葉結(jié)點(diǎn)，且權(quán)值越小的結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑越長

構(gòu)造過程中共新建了$n?1$個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此哈夫曼樹中的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為 $2n?1$

每次構(gòu)造都選擇2棵樹作為新結(jié)點(diǎn)的孩子，因此哈夫曼樹中不存在度為1的結(jié)點(diǎn)

哈夫曼樹的構(gòu)造過程

最后穩(wěn)一點(diǎn)，大家認(rèn)為哈夫曼樹是唯一的嘛？顯然不是。因?yàn)槎鏄涫欠肿笥医Y(jié)點(diǎn)的，比如上圖(c)中，結(jié)點(diǎn)c是雙親結(jié)點(diǎn)的左孩子結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)d是雙親結(jié)點(diǎn)的右孩子結(jié)點(diǎn)，二者交換位置也是可以的，并不影響整棵樹是一棵哈夫曼樹（WPL沒有改變）。所以哈夫曼樹答案不唯一。

1.4 哈夫曼編碼

為使不等長編碼為前綴編碼(即要求一個(gè)字符的編碼不能是另一個(gè)字符編碼的前綴)，可用字符集中的每個(gè)字符作為葉子結(jié)點(diǎn)生成一棵編碼二叉樹，為了獲得傳送報(bào)文的最短長度，可將每個(gè)字符的出現(xiàn)頻率作為字符結(jié)點(diǎn)的權(quán)值賦予該結(jié)點(diǎn)上，顯然字使用頻率越小權(quán)值越小，權(quán)值越小葉子就越靠下，于是頻率小編碼長，頻率高編碼短，這樣就保證了此樹的最小帶權(quán)路徑長度效果上就是傳送報(bào)文的最短長度。

因此，求傳送報(bào)文的最短長度問題轉(zhuǎn)化為求由字符集中的所有字符作為葉子結(jié)點(diǎn)，由字符出現(xiàn)頻率作為其權(quán)值所產(chǎn)生的哈夫曼樹的問題。利用哈夫曼樹來設(shè)計(jì)二進(jìn)制的前綴編碼，既滿足前綴編碼的條件，又保證報(bào)文編碼總長最短。

若沒有一個(gè)編碼是另一個(gè)編碼的前綴，則稱這樣的編碼為前綴編碼。

通過前綴編碼解碼，可以辨識(shí)出第一個(gè)編碼，并將編碼翻譯為源原碼。

例如：00101100，可以唯一被解讀為：0、0、101、100

下面舉個(gè)例子

a：01

b：10

c：110

d：111

e：00

通過上面的例子可以看出，對(duì)于每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)上的值都有唯一的編碼

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-树】4.图解平衡二叉树和哈夫曼编码(逐步演绎，一文读懂)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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