概述

? 本文旨在說明RSA加密算法的原理及實現，而其相關的數學部分的證明則不是本文內容。

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作者：Q-WHai

發表日期： 2016年2月29日

本文鏈接：http://blog.csdn.net/lemon_tree12138/article/details/50696926

來源：CSDN

更多內容：分類 ? 數據加密與信息安全

RSA簡介

??1977年，三位數學家Rivest、Shamir 和 Adleman 設計了一種算法，可以實現非對稱加密。這種算法用他們三個人的名字命名，叫做RSA算法。從那時直到現在，RSA算法一直是最廣為使用的"非對稱加密算法"。毫不夸張地說，只要有計算機網絡的地方，就有RSA算法。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-- 摘自網絡

數學背景

? 此部分旨在補充本文的完整性。如果說你已經了解，或是不想了解此部分內容。那么可以直接跳過此部分的閱讀。

? 雖說只是補充說明（只能是補充的原因是因為博主的數學也是比較差的-_-!!!），但是此部分的內容卻是相當重要的。博主還是希望可以重新閱讀一下此部分。

1.互質

? 從小學開始，我們就了解了什么是質數?；ベ|是針對多個數字而言的，如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，那么就稱這兩個數是互質關系（注意，這里并沒有說這兩個數一定是質數或有一個為質數。比如15跟4就是互質關系）。以下有一些關于質數與互質的性質：

• 質數只能被1和它自身整除
• 任意兩個質數都是互質關系
• 如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關系
  
• 如果兩個數之中，較小的那個數是質數，且較大數不為較小數的整數倍，則兩者構成互質關系
  
• 1和任意一個自然數是都是互質關系
  
• p是大于1的整數，則p和p-1構成互質關系
  
• p是大于1的奇數，則p和p-2構成互質關系
  

2.歐拉函數

??歐拉函數是求小于x并且和x互質的數的個數。其通式為：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。

? 其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。看到這里是不是有一些頭疼，太理論的東西的確不夠具象。我們且不去理會后面公式計算與論證，因為已經超出本文的范圍了。就前一句來說說吧，歐拉函數是求小于x并且和x互質的數的個數。這里我可以列舉一個例子：

? 令x = 16，那么x的所有質因數為：φ(16) = 16 * (1 - 1/2) = 8

? 我們也可以枚舉出所有比16小，且與16互質的數：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

? 現在也給出部分歐拉函數的性質：

• 若n是素數p的k次冪，，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質
  
• 歐拉函數是積性函數——若m,n互質，
  
• 當n為奇數時，
  
• p是素數，，φ(p)稱為p的歐拉值
  

? 歐拉函數更多參考請見這里的鏈接。

3.模反元素

定義：如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數是1。

關于模反元素的求解，使用的是樸素的解法。如果讀者想要更進一步了解的話，請自行搜索其他解法（比如：輾轉相除法、歐幾里德算法）。

RSA原理

? 在RSA原理之前，我想還是有必要了解一下非對稱加密算法的加密跟解密過程。下面就是一幅非稱加密算法的流程圖。

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? 在此可以看到，非對稱加密是通過兩個密鑰（公鑰-私鑰）來實現對數據的加密和解密的。公鑰用于加密，私鑰用于解密。對于非對稱的加密和解密為什么可以使用不同的密鑰來進行，這些都是數學上的問題了。不同的非對稱加密算法也會應用到不同的數學知識。上面也對RSA中使用的數學問題做了一個小小的介紹。現在就來看看RSA算法是怎么來對數據進行加密的吧，如下是一幅RSA加密算法流程及加密過程圖。

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RSA應用

1. 實例模型

? 就以上圖中的Bob和Alice來舉例吧。

? 現在Alice通過密鑰生成器生成了一對密鑰（公鑰-私鑰）。只把公鑰對外公開了。并說，你有什么要跟我說的，就用模冪運算和公鑰加密后發給我吧。

? 此時，Bob已經獲得了Alice發布的公鑰。使用模冪運算對明文進行了加密，就把加密后的密文發送給了Alice。

? Alice獲得Bob發來的密文并沒有使用公鑰對密文進行解密，并獲得了明文。因為解密過程需要使用的密鑰是私鑰。

2. RSA算法實現

? 下面的代碼只是根據RSA算法的定義，使用Java開發語言實現。且這里只是展示了一些關鍵步驟，完整過程可以參見下面的源碼下載文檔。

public class RSA { /*** 獲得(公/私)密鑰*/public final Map<String, RSAKey> getCipherKeys() {...int[] primes = getRandomPrimes(2);int modulus = modulus(primes[0], primes[1]);int euler = euler(primes[0], primes[1]);int e = cipherExponent(euler);int inverse = inverse(euler, e);publicKey.setExponent(e);publicKey.setModulus(modulus);privateKey.setExponent(inverse);privateKey.setModulus(modulus);...}/*** 加密*/public int encode(int plaintext, RSAPublicKey key) {return modularPower2(plaintext, key.getExponent(), key.getModulus());}/*** 解密*/public int decode(int chipertext, RSAPrivateKey key) {return modularPower2(chipertext, key.getExponent(), key.getModulus());}// 隨機生成count個素數private final int[] getRandomPrimes(int count) {...try {primeLabels = FileReadUtils.readLines("./data/prime_table");} catch (IOException e) {e.printStackTrace();}for (int i = 0; i < primes.length; i++) {primes[i] = Integer.parseInt(primeLabels.get(indexs.get(i)));}return primes;}// 計算公共模數private final int modulus(int p, int q) {return p * q;}// 計算歐拉數private final int euler(int p, int q) {return (p - 1) * (q - 1);}// 計算加密指數private final int cipherExponent(int euler) {Random random = new Random();int e = 7;do {e = random.nextInt(euler - 1);} while (!isCoprime(e, euler) || e <= 1);return e;}// 判斷兩個數互素private final boolean isCoprime(int number1, int number2) {int sqrt = (int) Math.sqrt(Math.max(number1, number2));for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {if (number1 % i == 0 && number2 % 2 == 0) {return false;}}return true;}// 計算“模的逆元”// (d * e) ≡ 1 mod eulerprivate final int inverse(int euler, int e) {...while (flag) {q = m[2] / n[2];for (int i = 0; i < 3; i++) {temp[i] = m[i] - q * n[i];m[i] = n[i];n[i] = temp[i];}if (n[2] == 1) {if (n[1] < 0) {n[1] = n[1] + euler;}return n[1];}if (n[2] == 0) {flag = false;}}return 0;}// 模冪運算private final int modularPower(int base, int e, int modular) {int result = 1;do {if (isOdd(e)) {result = (result * (base % modular)) % modular;e -= 1;} else {base = (base * base) % modular;e /= 2;}} while (e > 0);result %= modular;return result;} }

RSA算法判別

RSA算法優點

不需要進行密鑰傳遞，提高了安全性

可以進行數字簽名認證

RSA算法缺點

加密解密效率不高，一般只適用于處理小量數據（如：密鑰）

容易遭受小指數攻擊

Ref

《算法導論》

《算法的樂趣》

《深入淺出密碼學》

RSA算法原理（一）?-- 阮一峰

RSA算法原理（二）?-- 阮一峰

逆元詳解 --?ACdreamers

JAVA實現擴展歐幾里德算法求乘法逆元

源碼下載

http://download.csdn.net/detail/u013761665/9439852

總結

以上是生活随笔為你收集整理的密码学：RSA加密算法详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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