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題目描述

現代數學的著名證明之一是Georg Cantor證明了有理數是可枚舉的。他是用下面這一張表來證明這一命題的：

1/1 , 1/2 , 1/3 , 1/4, 1/5, …

2/1, 2/2 , 2/3, 2/4, …

3/1 , 3/2, 3/3, …

4/1 , 4/2, …

5/1 , …

…
我們以Z字形給上表的每一項編號。第一項是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2，…

輸入格式：
整數N（1≤N≤10000000）

輸出格式：
表中的第N項

輸入樣例#1：
7
輸出樣例#1：
1/4

分析

• 看到這道題的時候沒想那么多，直接模擬$O(n)$的時間復雜度就過了?？戳薲alao們的八仙過海各顯神通的題解，覺得自己還是孤陋寡聞了。除了直接模擬外，還有兩種值的學習的方法。

枚舉每一條斜線，找到所求的項所在的斜線，然后，時間復雜度為$O(\sqrt{n})$。
斜線上的項可以用如下三角形表示（當然，需要偶數行需要逆序）
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
可以看出，每行有第$i$行有$i$項，而且每行中第$k$個元素一定小于或等于行數$i$，于是我們就可以對各行進行枚舉了。

二分法：經過觀察可以知道，第i條斜線上每項分子和分母的值和都為i+1，其中包含$[\frac{i?(i?1)}{2}+1，\frac{(1+i)?i}{2}]$這個區間中所有的項，用二分的方法就可以快速找到所求項所在的直線了。
區間的推導：
通過上面那個三角形可以看出，第$i$層包含$i$項，如果要求$i$層中共有多少項，可以問題可以轉化為等差數列前$i$項和，公式為$\frac{(1+i)?i}{2}$。根據這個公式我們可以知道，第$i$的第1項為前$i?1$層的項數和加1，第$i$的第$i$項為前$i$層的項數和。
求該項是該層的第幾項：
設層數為$i$，該項是該層的第$a$項，可得
$$a=n?\frac{i?(i?1)}{2}$$

代碼如下

直接模擬。

import java.io.BufferedInputStream; import java.util.*; public class Main {static int n,x=1,y=1;public static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));n=cin.nextInt();for(int i=1;i<n;) {if(i<n) {x++;i++;}while(x-1>0 && i<n) {x--;y++;i++;}if(i<n) {y++;i++;}while(y-1>0 && i<n) {x++;y--;i++;}}System.out.println(y+"/"+x);cin.close();} }

枚舉斜線

import java.io.BufferedInputStream; import java.util.*; public class Main {static int n,i=1;public static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));n=cin.nextInt();while(i<n) {n=n-i;//n indicate n element in rowi++;//i indicate number of plies}if(i%2==0)System.out.println(n+"/"+(i-n+1));else System.out.println((i-n+1)+"/"+n);cin.close();} }

二分法找斜線

import java.io.BufferedInputStream; import java.util.*; public class Main {static int n,r,l,mid,a;// r, l, mid all indicate number of pliespublic static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));n=cin.nextInt();l=1;r=n;while(l<r) {mid=(r+l)/2;if(((mid+1)*mid)/2<n) l=mid+1;else r=mid;}a=n-(l*(l-1))/2; //why l indicate the target layerif(l%2==0)System.out.println(a+"/"+(l+1-a));else System.out.println((l+1-a)+"/"+a);cin.close();} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P1014Cantor表（找规律）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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