2021.05.07更新：添加異或運算的性質
2020.03.23更新：添加位運算符~的應用
2020.02.24更新：添加目錄、調整格式。
2020.01.04更新：反碼的缺點和使用，以及補碼的優點。

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文章目錄

• 一、前言
• 二、數的二進制表示
• • 1. 原碼
  • 2. 反碼
  • 3. 補碼
• 三、運算符
• • 1. 按位與 &
  • 2. 按位或 |
  • 3. 按位取反 ~
  • 4. 按位異或 ^
  • 4. 左移 <<
  • 5. 右移 >>

一、前言

之前大一上課的時候，老師說位運算不考，當時就沒有認真去學習。后來學算法的時候，發現大佬的代碼中總會摻雜著一些位運算操作，為了理解那些代碼，前前后后也看了幾次位運算操作，但是沒有很好地記錄下來。現在又遇到了，借此機會寫個總結。

由于位運算都是直接對整數在內存中的二進制數進行操作的，所以位運算的效率會相對比較高。

二、數的二進制表示

二進制數最高位為符號位，0表示正，1表示負（一般我們都不寫出來）。所以C語言中的int（32位整數）的范圍是$?2^{31}$到$2^{31}?1$，第32位用來做符號位了。
正數的二進制表示即為它的原碼，負數的二進制表示為它的補碼。

1. 原碼

把一個整數的絕對值轉換為二進制數，再加上符號位就是該整數的原碼。例如：
+9的原碼為0 0001001（即為+9的二進制表示）
-9的原碼為1 0001001

2. 反碼

正數的反碼與它的原碼相同，負數的反碼符號位不變，數值部分為原碼的按位取反。例如：
+9的反碼為0 0001001
-9的反碼為1 1110110

由于反碼0的表示不唯一、表示數的范圍比補碼少一個最小負數、運算時必須考慮循環進位，因此反碼在計算機中很少被使用，有時用作數碼變換的中間表示形式。

3. 補碼

正數的補碼與它的原碼相同，負數的補碼為它的反碼+1。例如：
+9的補碼為0 0001001
-9的補碼為1 1110111(即為-9的二進制表示)

因為補碼0的表示是唯一的，于是減少了+0和-0之間的轉換；少占用了一個編碼表示，使得補碼能比原碼多表示一個最小負數。

三、運算符

1. 按位與 &

對兩個等長的（不夠在前面用0補）二進制數進行按位與運算，如果對應位都為1，則該位為1，否則該位為0。
例如：求9&3，將它們轉換為二進制數（以下都是先這樣操作）

1001 0011 ----- 0001

應用：

通常我們可以用n&1來判斷n是奇數還是偶數，因為奇數的二進制最后一位都是1。

#include <iostream> using namespace std; int main() {for (int i = 0; i < 10; i++)if (i & 1) cout << i << " ";return 0; }

輸出結果
1 3 5 7 9

用 n&(-n) 求非負數在二進制表示下最低位1以及它后面的0構成的數值。（這一求解應用在樹狀數組中）

對于任意整數 $x$，令 $x=x\&(x?1)$，該運算將 $x$ 的二進制表示的最后一個 $1$ 變成 $0$。于是，我們可以利用該性質快速求一個數二進制位有多少個1。

#include <iostream> using namespace std; int main() {int x, i;cin >> x;for (i = 0; x != 0; i++)x &= (x - 1);cout << i << endl;return 0; }

2. 按位或 |

對兩個等長的（不夠在前面用0補）二進制數進行按位或運算，如果對應位都為0，則該位為0，否則該位為1。
例如：求9|3

1001 0011 ----- 1011

3. 按位取反 ~

~a表示對a的二進制表示的每一位進行取反，即0變為1，1變為0。例如：求~9

1001 ----- 0110

應用：
用于求相反數，公式為：~n + 1

#include <stdio.h> int main () {int n = 10;printf("%d ", ~n + 1);return 0; }

輸出結果
-10

4. 按位異或 ^

對等長二進制模式按位或二進制數的每一位執行邏輯按位異或操作，操作的結果是如果某位不同則該位為1, 否則該位為0。
（摘自百度百科）

例如：求9^3（很多新手會誤以為是$9^3$）

1001 0011 ----- 1010

記 $\oplus$ 為異或運算，異或運算滿足以下性質：

$x\oplus x=0$

$x\oplus y=y\oplus x$（交換律）；

$(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$（結合律）；

$x\oplus y\oplus y=x$（自反性）；

$?i\in Z?i\in Z，有4i\oplus (4i+1)\oplus (4i+2)\oplus (4i+3)=0$

應用：

利用按位異或的自反性，我們可以不需要用輔助變量也能實現兩個數的交換（裝逼用【被打】）#include <iostream> using namespace std; int main() {int a = 10, b = 5;a = a ^ b;b = a ^ b;a = a ^ b;cout << a << " " << b << endl;return 0; }

輸出結果
5 10

4. 左移 <<

a<<n 表示將 a 的二進制表示數向左移動 n 位，即在后面添加 n 個 0。同樣，也就相當于 a 乘以 $2^n$。

#include <iostream> using namespace std; int main() {for (int i = 0; i < 10; i++)cout << (1<<i) << " ";return 0; }

輸入結果
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

5. 右移 >>

a>>n 與上面的左移剛好相反，表示將a的二進制表示數往右移動n位，即直接去掉a后面的n位，相當于a除以 $2^n$。通常我們可以利用 n>>=1 來代替 n /= 2來提高運算效率。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的C++描述的位运算总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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