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問題描述

已知遞推公式：

F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

初始值為：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。

輸入n，輸出F(n, 1)和F(n, 2)，由于答案可能很大，你只需要輸出答案除以99999999的余數。

輸入格式

輸入第一行包含一個整數n。

輸出格式

輸出兩行，第一行為F(n, 1)除以99999999的余數，第二行為F(n, 2)除以99999999的余數。

樣例輸入

4

樣例輸出

14
21

數據規模和約定

1<=n<=10^18。

分析

• 這道題數據規模大，如果用暴力法解鐵定會超時。這時，我們不妨考慮用矩陣快速冪來解決這道題。
• 矩陣快速冪是就求解遞推式的一種比較高效的手段，需要我們找到遞推式對應的矩陣運算等式，把求遞推式問題轉換為求矩陣乘冪問題，再利用快速冪求解矩陣的冪乘，最后計算結果即可。
• 用Fibonacci數列來舉例，我們找到遞推式對應的等式
  $$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)$$
  ，再把右邊的
  $$\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)$$
  繼續往下分解到n-1=2，可得
  $$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{n?2}?\left(\begin{array}{c}F(2)\\ F(1)\end{array}\right)$$
  ,這就把問題轉化為利用矩陣快速冪求
  ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{n?2}$

（注意：$$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)$$ 中的每個元素都對應比 $$\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)$$大一項，這是我們構造遞推式的方法）

• 放在這一道，這里題目給了6個已知項，再加上遞推式中有常數，我們可以基本斷定列矩陣中有7個元素，于是我們經猜想可得（找了一上午）等式左邊的列矩陣
  $$?\begin{array}{c}F(n,1)\\ F(n,2)\\ F(n?1,1)\\ F(n?1,2)\\ F(n?2,1)\\ F(n?2,2)\\ 1\end{array}?$$
  ，按照先前說的規律可得右邊的行矩陣
  $$?\begin{array}{c}F(n?1,1)\\ F(n?1,2)\\ F(n?2,1)\\ F(n?2,2)\\ F(n?3,1)\\ F(n?3,2)\\ 1\end{array}?$$
  ，最后按照遞推式寫出中間的方陣
  $$?\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& 2& 0& 5\\ 1& 0& 0& 0& 3& 2& 3\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}?$$
  ，而最后要求的冪等于$1+(n?1?3)=n?3$。至此，我們已經轉換成利用快速冪求矩陣乘冪問題了。
• C++選手的話可以在定義Matrix結構體的時候重載"*"運算符以表示矩陣乘法，java選手則選擇可以在定義matrix類的時候寫一個表示矩陣乘法的multi()方法，這樣符合面向對象思想且有利于增加代碼的可讀性。剩下的矩陣快速冪代碼和普通快速冪代碼基本相同，不必累述。(見：快速冪（良心教程）)

代碼如下

import java.util.*; public class Main {static final int mod=99999999;static long num[]=new long[] {6,5,1,4,2,3,1};static long n,ans1,ans2;static class Matrix{long mat[][]=new long[7][7];Matrix multi(Matrix a) { //矩陣乘法Matrix rec=new Matrix();for(int i=0;i<7;i++) {for(int k=0;k<7;k++) {if(this.mat[i][k]!=0)for(int j=0;j<7;j++) {rec.mat[i][j]=(rec.mat[i][j]+(this.mat[i][k]*a.mat[k][j])%mod)%mod;}}}return rec;}}//ST表示該方陣，E表示單位矩陣（其地位相當于整數1）static Matrix ST=new Matrix(),E=new Matrix();static void init() { //初始化for(int i=0;i<7;i++)E.mat[i][i]=1;ST.mat[0][1]=1;ST.mat[0][4]=2;ST.mat[0][6]=5;ST.mat[1][0]=1;ST.mat[1][4]=3;ST.mat[1][5]=2;ST.mat[1][6]=3;ST.mat[2][0]=1;ST.mat[3][1]=1;ST.mat[4][2]=1;ST.mat[5][3]=1;ST.mat[6][6]=1;}static Matrix matrix_pow(long n) { //矩陣快速冪Matrix rec=E,base=ST;while(n!=0) {if(n%2==1) {rec=rec.multi(base);}base=base.multi(base);n=n>>1;}return rec;}public static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(System.in);n=cin.nextLong();if(n<4) {int index=(int)(3-n)*2;System.out.println(num[index]);System.out.println(num[index+1]);}else {init();ST=matrix_pow(n-3);for(int i=0;i<7;i++) {ans1=(ans1+(ST.mat[0][i]*num[i])%mod)%mod; //求F(n,1)ans2=(ans2+(ST.mat[1][i]*num[i])%mod)%mod; //求F(n,2)}System.out.println(ans1);System.out.println(ans2);}} }

矩陣快速冪模板

矩陣類的模板，mat[][]數組的類型和N的大小都要根據實際情況來定。是否要取模以及mod的大小也是根據題目，一般規模較大的題目都會要求取模。

static class Matrix{mat[][]=new long[N][N]; //類的數據成員Matrix multi(Matrix a) { //矩陣乘法Matrix rec=new Matrix();for(int i=0;i<N;i++) {for(int k=0;k<N;k++) {if(this.mat[i][k]!=0)for(int j=0;j<N;j++) {rec.mat[i][j]=(rec.mat[i][j]+(this.mat[i][k]*a.mat[k][j])%mod)%mod;}}}return rec;} }

矩陣快速冪模板，預先要寫好init()函數初始化表示單位矩陣的Matrix類對象E和要求冪乘的方陣ST。

Matrix matrix_pow(long n){Matrix rec=E,base=ST;while(b!=0){if(b%2==1){rec=rec.multi(base);}base=base.multi(base);n=n>>1;}return rec; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的蓝桥杯 算法提高 递推求值（矩阵快速幂）详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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