圖像降噪算法——低秩聚類：WNNM算法

• 圖像降噪算法——低秩聚類：WNNM算法
• • 1. 基本原理
  • 2. matlab代碼
  • 3. 結論

圖像降噪算法——低秩聚類：WNNM算法

同樣是為了完善自己知識版圖的完整性，我決定再補充下低秩聚類算法的相關算法，低秩聚類算法同樣是一大類算法，這篇博客是挑選了其中最經典的一種算法WNNM算法進行展開學習，由于沒有在這方面做過太多相關的工作，因此可能理解相對膚淺，還請讀者見諒

1. 基本原理

在寫這篇博客之前，我先學習了稀疏表達相關的知識，這里我從稀疏表達算法出發，引入低秩聚類算法的相關解釋：

在稀疏表達相關算法中，將圖像建模成$\mathbf{Y}=\mathbf{D}\mathbf{X}$的形式，其中$\mathbf{Y}$是有單個樣本按列組成而成的樣本矩陣，注意這里的樣本并沒有要求是相似的，$\mathbf{D}$是字典矩陣，矩陣中每一列為一個基向量或者子空間，$\mathbf{X}$則為系數矩陣，在系數表達中給定的限制條件是要求系數矩陣是稀疏的。我們通過一個過完備的字典和稀疏的系數矩陣就可以還原樣本，而噪聲不行，因此可以通過稀疏表達進行去噪。

而在低秩聚類相關算法中，是將圖像建模成$\mathbf{Y}=\mathbf{X}?\mathbf{N}$，其中$\mathbf{Y}$同樣是由帶有噪聲的相似樣本組成而成的樣本矩陣。$\mathbf{X}$和$\mathbf{N}$分別為對應的的無噪聲的樣本矩陣以及噪聲。我們給出的限制條件是$\mathbf{X}$是低秩矩陣。由于相似樣本組成的矩陣具備低秩性，噪聲不具備低秩性，因此通過低秩聚類可以實現圖像降噪的效果。

由此可見，從降噪的本質上來將，稀疏表達的稀疏和低秩聚類中的聚類是具有一定相關性的。

為什么相似樣本具備低秩性呢？參考圖像降噪方法綜述中的說法，當我們拍攝一張大草原的圖片時，草原是由草組成的，而草是相似的，如果圖片上全是草，那么這張圖片實際包含的信息是很少的，因此可以理解為草是草的復制品，這就是低秩性的一個直觀理解。

那么接下來就開始具體將WNNM算法的實現，主要參考
非局部相似性去噪算法研究
Weighted Nuclear Norm Minimization with Application to Image Denoising

WNNM的全稱是Weighted Nuclear Norm Minimization，中文翻譯成加權核范數最小化方法，算法的流程如下圖所示：

如果在圖像上搜索相似patch的流程就不用贅述了，方法多種多樣，重要的是，假定我們要降噪的圖像塊為${\mathbf{P}}_{\mathbf{i}}$，由該圖像塊以及圖像上與其相似的圖像塊組成的矩陣為${\mathbf{Y}}_{\mathbf{i}}$，對應的降噪后的矩陣為${\mathbf{X}}_{\mathbf{i}}$，低秩矩陣最小化可以用來求矩陣的解，于是我們得到目標函數：$${\mathbf{X}}_i={\mathrm{argmin}}_{x_i}{\Vert {\mathbf{Y}}_i?{\mathbf{X}}_i\Vert }_F^2+\mathrm{rank}\left({\mathbf{X}}_i\right)$$但是，其中${\Vert \mathbf{X}\Vert }_F$是F范數，F范數的定義是矩陣$\mathbf{X}$各項元素的絕對值平方的總和，即$$\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F\equiv \sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\left|x_{ij}\right|}^2}$$上式是一個非凸函數，求解過程將是一個NP問題，因此需要對該問題轉為凸優化問題后再求解，為此，前輩提出了標準核范數最小化的求解方法，也就是NNM——本文要介紹的WNNM算法的前身，NNM的目標函數如下：$${\mathbf{X}}_i={\mathrm{argmin}}_{X_i}{\Vert {\mathbf{Y}}_i?{\mathbf{X}}_i\Vert }_F^2+\lambda {\Vert {\mathbf{X}}_i\Vert }_{?}$$式中，$\lambda$是一個正數，${\Vert {\mathbf{X}}_i\Vert }_{?}$是核范數，核范數的定義為$$\Vert \mathbf{X}{\Vert }_{?}=\mathrm{tr}\left(\sqrt{{\mathbf{X}}^T\mathbf{X}}\right)=\mathrm{tr}(\mathbf{\Sigma })$$

求解方法是對${\mathbf{Y}}_{\mathbf{i}}$進行奇異值分解為${\mathbf{Y}}_j=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }\mathbf{V}$，然后對奇異值進行軟閾值收縮：$${\mathcal{S}}_{\lambda }(\mathbf{\Sigma }{)}_{ii}=\max \left({\mathbf{\Sigma }}_{ii}?\lambda ,0\right)$$其中，${\mathbf{\Sigma }}_{ii}$為奇異矩陣$\mathbf{\Sigma }$對角線元素，于是得到目標函數的解：$${\mathbf{X}}_i=\mathbf{U}{\mathcal{S}}_{\lambda }\left(\mathbf{\Sigma }\right)\mathbf{V}$$在NNM算法中，是使用同一個$\lambda$值對所有奇異值進行軟閾值收縮，這樣做沒有考慮到圖像的信息主要集中在數值較大的上這個特點，因此會導致圖像細節過度平滑而變得模糊，為了解決這個問題，于是就誕生了WNNM算法，使用不同的$\lambda$值對奇異值進行軟閾值收縮，數值大的奇異值對應數值小的$\lambda$。由此我們得到目標函數：$${\hat{\mathbf{X}}}_i={\mathrm{argmin}}_{X_i}\frac{1}{{\sigma }_n^2}{\Vert {\mathbf{Y}}_i?{\mathbf{X}}_i\Vert }_F^2+{\Vert {\mathbf{X}}_i\Vert }_{\mathbf{w},?}$$其中${\sigma }_n^2$為噪聲方差，用于歸一化F范數，而其中$\mathbf{w}=\left[w_1,\dots ,w_n\right]$中的每一項都為非負數，對應每一個奇異值，如下：$$w_i=c\sqrt{k}/\left({\sigma }_i\left(\mathbf{X}\right)+\epsilon \right)$$$其中，{\sigma }_i\left(\mathbf{X}\right)$為$\mathbf{X}$的第$i$奇異值，可以觀察到，當奇異值越大時權重越小。$k$w為相似圖像patch的數量，$\epsilon$為防止被零正常的小參數。但是這里有個問題是，${\sigma }_i\left(\mathbf{X}\right)$是未知的呀，我們可以假設在初始時刻，噪聲能量是在各個特征上分布是均勻的，因此初始化${\sigma }_i\left(\mathbf{X}\right)$為：$${\sigma }_i\left(\mathbf{X}\right)=\sqrt{\max \left({\sigma }_i^2\left(\mathbf{Y}\right)?k{\sigma }_n^2,0\right)}$$最后同樣我們對${\mathbf{Y}}_{\mathbf{i}}$進行奇異值分解為${\mathbf{Y}}_j=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }\mathbf{V}$，然后目標函數的解為：$${\mathbf{X}}_i=\mathbf{U}{\mathcal{S}}_{\mathbf{w}}\left(\mathbf{\Sigma }\right)\mathbf{V}$$

2. matlab代碼

matlab代碼我就直接貼上鏈接好了 csjunxu/WNNM_CVPR2014 ，這份matlab代碼我也沒有細讀，僅僅跑了一下，感興趣的同學可以多畫時間研究研究。

3. 結論

低秩聚類不僅僅可以用在圖像降噪，在圖像分割、分類等方面也有廣泛的應用。

論文中的圖像效果如下：
我測試的結果也差不多，相對BM3D其文理細節保留會更好一些，但是一些紋理密集的區域會出現一些artifact，至于好不好，就要看大家對圖片質量的要求了，這篇文章寫的比較淺顯，有問題歡迎交流

此外，這里我寫一個各種算法的總結目錄圖像降噪算法——圖像降噪算法總結，對圖像降噪算法感興趣的同學歡迎參考

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像降噪算法——低秩聚类：WNNM算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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