2.3.3 賦范空間

每個實數(shù)或復(fù)數(shù)，都有相對應(yīng)的絕對值或者模，每一個n維矢量，也都可以定義其長度。如果把“長度”的概念推廣到一般抽象空間中的元素上，就可以得到范數(shù)這個概念。

本節(jié)完。

2.3.6 希爾伯特空間

定義：在由內(nèi)積所定義的范數(shù)意義下完備的內(nèi)積空間稱為希爾伯特（Hilbert）空間。
希爾伯特空間是一類性質(zhì)非常好的線性賦范空間，在工程上有著非常廣泛的應(yīng)用，而且在希爾伯特空間中最佳逼近問題可以得到比較完滿的解決。

傅立葉變換以高等數(shù)學(xué)（微積分）中的傅立葉級數(shù)為基礎(chǔ)發(fā)展而來，它是信號處理（特別是圖像處理）中非常重要的一種時頻變換手段，具有重要應(yīng)用。在圖像編碼、壓縮、降噪、數(shù)字水印方面都有重要意義。此外，快速傅立葉變換算法還位列20世紀(jì)十大算法之列，它是“動態(tài)規(guī)劃”策略在算法設(shè)計中的杰出代表。本文將詳細(xì)介紹圖像中的傅立葉變換及其快速算法。對于傅立葉變換的數(shù)學(xué)原理還不是很理解的同學(xué)，建議參考本系列前面已經(jīng)發(fā)布的傅立葉級數(shù)相關(guān)內(nèi)容，爭取徹底搞懂相關(guān)數(shù)學(xué)原理。一知半解、不求甚解，都是自欺欺人的表現(xiàn)。

6.1.2 ? 數(shù)字圖像的傅立葉變換

為了在科學(xué)計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機(jī)進(jìn)行傅立葉變換，必須將函數(shù)f(t)定義在離散點而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅立葉變換。將連續(xù)函數(shù)f(t)等間隔采樣就得到一個離散序列f(x)，假設(shè)采樣N次，則這個離散序列可以表示為{f(0),f(1),f(2),...,f(N-1)}。如果令x為離散實變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅立葉變換的正變換定義為

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。從傅立葉頻譜圖上看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。通常，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖。在功率圖中我們可以看出圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，若頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。變換最慢的頻率成分（u = v = 0）對應(yīng)一幅圖像的平均灰度級。當(dāng)從變換的原點移開時，低頻對應(yīng)著圖像的慢變換分量，較高的頻率開始對應(yīng)圖像中變化越來越快的灰度級。這些是物體的邊緣和由灰度級的突發(fā)改變（如噪聲）標(biāo)志的圖像成分。通常在進(jìn)行傅立葉變換之前用(-1)^(x+y)乘以輸入的圖像函數(shù)，這樣便可將傅立葉變換的原點(0,0)移到(M/2,N/2)上。

6.1.3? 快速傅立葉變換的算法

離散傅立葉變換（DFT）已經(jīng)成為數(shù)字信號處理和圖像處理的一種重要手段，但是DFT的計算量太大，速度太慢，這令其實用性大打折扣。1965年，Cooley和Tukey提出了一種快速傅立葉變換算法（Fast Fourier Transform，FFT），極大地提供了傅立葉變換的速度。正是FFT的出現(xiàn)，才使得傅立葉變換得以廣泛地應(yīng)用。

FFT并不是一種新的變換，它只是傅立葉變換算法實現(xiàn)過程的一種改進(jìn)。FFT中比較常用的是蝶形算法。蝶形算法主要是利用傅立葉變換的可分性、對稱性和周期性來簡化DFT的運算量。下面就來介紹一下蝶形算法的基本思想。

由于二維離散傅立葉變換具有可分離性， 即它可由兩次一維離散傅立葉變換計算得到，因此僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。一維離散傅立葉變換的公式為

上述FFT是將f(x)序列按x的奇偶進(jìn)行分組計算的，稱之為時間抽選FFT。如果將頻域序列的F(u)按u的奇偶進(jìn)行分組計算，也可實現(xiàn)快速傅立葉計算，這稱為頻率抽選FFT。

通過對圖6-6的觀察可以發(fā)現(xiàn)，蝶形算法的頻率域是按照正常順序排列的，而空間域是按照一種叫做“碼位倒序”的方式排列的。這個倒序的過程可以采用下面的方法來實現(xiàn)：將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制，然后將二進(jìn)制的序列倒序重排，最后再把顛倒順序后的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。倒序重排的程序是一段經(jīng)典程序，它以巧妙的構(gòu)思、簡單的語句用完成了倒序重排的功能。表6-1給出了倒序重排的示例。

6.4.3 主成分變換的實現(xiàn)

本小節(jié)通過一個算例驗證一下之前的推導(dǎo)。在前面給出的例子中，各點在原始的

由于方程是齊次的，所以不獨立。因為系數(shù)矩陣有零行列式，所以方程有非無效解。從兩個方程的任何一個可見

現(xiàn)在考慮該結(jié)論該如何解釋。特征向量g1和g2是在原坐標(biāo)系中用來定義主成分軸的向量，如圖6-20所示，其中，e1和e2分別是水平和垂直的方向向量。顯而易見，這些數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系中是非相關(guān)的。該新坐標(biāo)系是原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，出于這種原因，可以將主成分變換理解為旋轉(zhuǎn)變換（即使在高維空間上亦是如此）。

6.4.4 基于K-L變換的圖像壓縮

從圖像壓縮的角度出發(fā)，我們必然希望變換系數(shù)協(xié)方差矩陣Σx?中除對角線外的所有協(xié)方差均為零，成為對角線矩陣，即原來像素間的相關(guān)性經(jīng)變換后全部解除，或者至少大部分協(xié)方差要等于或接近于零。為此，需要選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q矩陣，它作用于Σx?后使其變成對角線型。通過前面的分析和推導(dǎo)，可知這樣的變換矩陣是存在的。如果用協(xié)方差矩陣Σx?的特征向量作變換的基向量，即由Σx?的特征向量作為正交變換的變換矩陣，就可以得到對角線型的變換域協(xié)方差矩陣Σy 。K-L變換就是采用這種矩陣進(jìn)行變換的正交變換，它可以在變換域完全解除相關(guān)性，因此是理論上的最佳變換。同時，換一個角度也可以證明，K-L變換是均方誤差最小準(zhǔn)則下的最佳變換，即當(dāng)壓縮比確定的情況下，采用K-L變換后，重建圖像的均方誤差比采用任何其他正交變換的都小。

但是回顧之前進(jìn)行的K-L變換，哪個步驟可以稱為圖像壓縮的切入點呢？一幅大小為M×N的圖像，它的協(xié)方差矩陣Σx大小為MN×MN。由上述K-L變換理論可知，對X進(jìn)行K-L變換的變換矩陣就是Σx的特征向量矩陣，該矩陣大小亦為MN×MN，其大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原始圖像數(shù)據(jù)矩陣。而且要在解碼時恢復(fù)原圖像，不但需要變換后的系數(shù)矩陣Y，還需要知道逆變換矩陣（也就是變換矩陣的轉(zhuǎn)置）。如果不經(jīng)過任何處理就這樣直接將K-L變換用于數(shù)字圖像的壓縮編碼，不但達(dá)不到任何數(shù)據(jù)壓縮的效果，還極大的增加了數(shù)據(jù)量。即使僅保留一個最大的特征值，變換矩陣中和該特征值對應(yīng)的特征向量為M×N維，系數(shù)矩陣 Y 保留的元素為一個。要重建圖像數(shù)據(jù)，需要保留的元素個數(shù)為仍大于原矩陣，所以達(dá)不到壓縮的目的。另外，求一個矩陣的協(xié)方差矩陣和特征向量矩陣，都是非常復(fù)雜的運算過程，需要大量的計算。當(dāng)X比較大時，運算時間的耗用可能是非常大的。有時甚至?xí)霈F(xiàn)因為過于復(fù)雜而導(dǎo)致Σx和變換矩陣無法求解的情況。

要解決上述問題，可以考慮將圖像分成若干個小塊，然后對每個小塊分別進(jìn)行K-L變換（這與本章前面的處理方式基本保持一致）。這樣使得Σx和變換矩陣都比較小，計算機(jī)處理起來比較容易而且速度快。這里仍然將圖像劃分為多個不重疊的8×8小塊（當(dāng)圖像垂直和水平方向的像素數(shù)不是8的倍數(shù)時補0，使之均為8的倍數(shù)）。然后再分別對每一個小塊執(zhí)行K-L變換，變換矩陣的數(shù)目為K個，每個矩陣大小為64×64，僅變換矩陣就要記錄K×64×64個數(shù)據(jù)，還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原始數(shù)據(jù)的個數(shù)M×N。是否可以讓變換矩陣的數(shù)量變得少些，最好只保留一個變換矩陣。回憶前面做K-L變換的例子，變換矩陣的大小與輸入矩陣的維度有關(guān)，而與樣本數(shù)量無關(guān)，據(jù)此可以將每個8×8小塊變成一個行向量（也就是一個64維的數(shù)組），原圖中的每一個小方塊都是一個64維的樣本。所以最后只需要一個64×64的變換矩陣即可，它對于原圖像的任意一個數(shù)據(jù)塊都適用。這樣的處理方式并不是完全意義上的K-L 變換，因為采用分塊的處理方式，各個數(shù)據(jù)塊之間的相關(guān)性是沒有消除的。但實驗亦表明，這樣的K-L 變換雖然不能完全消除圖像各像素點之間的相關(guān)性，也能達(dá)到很好的去相關(guān)效果，在去相關(guān)性性能上優(yōu)于離散余弦變換。

圖像數(shù)據(jù)經(jīng)K-L變換后，得到的系數(shù)矩陣Y大部分系數(shù)都很小，接近于零。只有很少的幾個系數(shù)的數(shù)值比較大，這正是K-L變換所起到的去除像素間的相關(guān)性，把能量集中分布在較少的變換系數(shù)上的作用的結(jié)果。據(jù)此，在圖像數(shù)據(jù)壓縮時，系數(shù)矩陣Y保留M個分量，其余分量則舍去。在實際編程開發(fā)中，經(jīng)K-L變換后的系數(shù)矩陣中的數(shù)值都是按從大到小的順序排列的，所以直接舍去后面的64M個分量即可。通過這一步的處理，便可動態(tài)地調(diào)節(jié)壓縮編碼系統(tǒng)的壓縮比和重建圖像的質(zhì)量。解碼時，首先做K-L逆變換，然后將上述過程逆轉(zhuǎn)，可以得到重建后的圖像數(shù)據(jù)矩陣。

我們在MATLAB中編寫的示例程序演示了運用上述方法對圖像實施基于K-L變換的壓縮處理的過程。最后可以通過編程實現(xiàn)基于K-L變換的圖像壓縮算法并測試其壓縮效果，所得之測試結(jié)果如圖6-22所示。該程序驗證了三種不同的壓縮比，即舍去排序后的系數(shù)矩陣中的32/64（對應(yīng)壓縮比50%）、48/64（對應(yīng)壓縮比75%）以及56/64（對應(yīng)壓縮比87.5%）。相關(guān)測試程序源碼讀者可以從本書的在線支持資源中下載得到。

最后需要補充說明的是盡管K-L變換可以將數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性完全去除，所以理論上是一種最理想的數(shù)據(jù)壓縮方案，但它在實際應(yīng)用過程中仍然受到很大局限。例如，它沒有快速算法，不同的圖像所對應(yīng)的變換矩陣也不同，從這個角度來說，單純將K-L變換直接應(yīng)用于圖像數(shù)據(jù)壓縮的理論價值要大于實際價值。它的存在意義，一方面是可以作為理論驗證的參考模板，另一方面就是需要對原始算法加以改進(jìn)后再付諸應(yīng)用。

6.4.2 主成分變換的推導(dǎo)

前面提到的一國經(jīng)濟(jì)增長與城市化水平關(guān)系的問題是典型二維問題，而協(xié)方差也只能處理二維問題，那維數(shù)多了自然就需要計算多個協(xié)方差，所以自然會想到使用矩陣來組織這些數(shù)據(jù)。為了幫助讀者理解上面給出的協(xié)方差矩陣定義，在此舉一個簡單的三維的例子，假設(shè)數(shù)據(jù)集有 {x,y,z} 三個維度，則協(xié)方差矩陣為

可見，協(xié)方差矩陣是一個對稱的矩陣，而且對角線是各個維度上的方差。下面通過一個例子來嘗試演算協(xié)方差矩陣（很多數(shù)學(xué)軟件都為該操作提供了支持）。需要提醒讀者注意的是，協(xié)方差矩陣計算的是不同維度之間的協(xié)方差，而不是不同樣本之間的。例如有一個樣本容量為 9 的三維數(shù)據(jù)，如下

根據(jù)公式，計算協(xié)方差需要計算均值，那是按行計算均值還是按列呢，前面也特別強調(diào)了，協(xié)方差矩陣是計算不同維度間的協(xié)方差，要時刻牢記這一點。樣本矩陣的每行是一個樣本，每列為一個維度，所以要按列計算均值。經(jīng)過計算，不難得到上述數(shù)據(jù)對應(yīng)的協(xié)方差矩陣如下

眾所周知，為了描述一個點在直角坐標(biāo)系中的位置，至少需要兩個分量。圖6-17所示是兩個二維數(shù)組，其中左圖顯示的各個點之間相關(guān)性微乎其微，而右圖所示的各個點之間則高度相關(guān)，顯然數(shù)據(jù)散布在一定角度內(nèi)較為集中。對于右圖而言，只要知道某個點一維分量的大小就可以大致確定其位置，兩個分量中任一分量的增加或者減少都能引起另一分量相應(yīng)的增減。相反，左圖中的情況卻不是這樣。

對之前給出的協(xié)方差矩陣定義式稍加改寫，以使其獲得計算上更為直觀的便利。則有在X矢量空間（或坐標(biāo)系下），協(xié)方差矩陣Σx的無偏計算公式為

表6-2給出了對于圖6-17中左圖所示的6個樣本點的集合，以及經(jīng)計算后求得的樣本集協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣的結(jié)果。應(yīng)當(dāng)注意，協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣二者都是沿對角線對稱的。從相關(guān)矩陣來看，各個數(shù)據(jù)分量間存在不相關(guān)關(guān)系的明顯事實就是協(xié)方差矩陣（以及相關(guān)矩陣）中非對角線元素都是零。

最終計算可得

1.1.3 函數(shù)的極限

本小節(jié)介紹兩個重要的函數(shù)極限，并討論它們的應(yīng)用。

重要極限1：

此外，該重要極限的另一種形式也常常被用到，即

綜上，結(jié)論得證。
由此，也很容易推出如下結(jié)論，證明從略，有興趣的讀者可以自行嘗試推導(dǎo)

1.3.2 內(nèi)積與外積

因為cos(π/2)=0。當(dāng)然，這也是眾多教科書上介紹向量內(nèi)積最開始時常常用到的一種定義方式。但必須明確，這種表示方式僅僅是一種非常狹隘的定義。如果從這個定義出發(fā)來介紹向量內(nèi)積，其實是本末倒置的。因為對于高維向量而言，夾角的意義是不明確的。例如，在三維坐標(biāo)空間中，再引入一維時間坐標(biāo)，形成一個四維空間，那么時間向量與空間向量的夾角該如何解釋呢？所以讀者務(wù)必明確，首先應(yīng)該是給出如本小節(jié)最開始時給出的內(nèi)積定義，然后才能由此給出二維或三維空間下的夾角定義。在此基礎(chǔ)上，我們來證明余弦定律。

若根據(jù)a·b = |a||b|cosθ這個定義，因為0<=cosθ<=1，顯然柯西-施瓦茨不等式是成立的。但是這樣的證明方式同樣又犯了本末倒置的錯誤。柯西-施瓦茨不等式并沒有限定向量的維度，換言之它對于任意維度的向量都是成立的，這時夾角的定義是不明確的。正確的思路同樣應(yīng)該從本小節(jié)最開始的定義出發(fā)來證明柯西-施瓦茨不等式，因為存在這樣一個不等式關(guān)系，然后我們才會想到內(nèi)積與向量模的乘積之間存在一個介于0和1之間的系數(shù)，然后我們才用cosθ來表述這個系數(shù)，于是才會得到a·b = |a||b|cosθ這個表達(dá)式。下面就來證明柯西-施瓦茨不等式。

證明：

與內(nèi)積類似，向量a,b的外積也可以狹義地定義為

1.4.5 ? 卷積定理及其證明

卷積定理是傅立葉變換滿足的一個重要性質(zhì)。卷積定理指出，函數(shù)卷積的傅立葉變換是函數(shù)傅立葉變換的乘積。換言之，一個域中的卷積對應(yīng)于另一個域中的乘積，例如，時域中的卷積對應(yīng)于頻域中的乘積。

這一定理對拉普拉斯變換、Z變換等各種傅立葉變換的變體同樣成立。需要注意的是，以上寫法只對特定形式的變換正確，因為變換可能由其它方式正規(guī)化，從而使得上面的關(guān)系式中出現(xiàn)其它的常數(shù)因子。
下面我們來證明時域卷積定理，頻域卷積定理的證明與此類似，讀者可以自行證明。
證明：將卷積的定義

傅立葉變換的作用在頻域?qū)π盘栠M(jìn)行分析，我們可以把時域的信號看做是若干正弦波的線性疊加，傅立葉變換的作用正是求得這些信號的幅值和相位。既然固定的時域信號是若干固定正弦信號的疊加，在不改變幅值的情況下，在時間軸上移動信號，也就相當(dāng)于同時移動若干正弦信號，這些正弦信號的相位改變、但幅值不變，反映在頻域上就是傅立葉變換結(jié)果的模不變、而相位改變。所以，時移性質(zhì)其實就表明當(dāng)一個信號沿時間軸平移后，各頻率成份的大小不發(fā)生改變，但相位發(fā)生變化。
既然這里提到了傅立葉變換的性質(zhì)，這里我們還將補充一些關(guān)于帕塞瓦爾定理的有關(guān)內(nèi)容。該定理最早是由法國數(shù)學(xué)家帕塞瓦爾（Marc-Antoine Parseval）在1799年推導(dǎo)出的一個關(guān)于級數(shù)的理論，該定理隨后被應(yīng)用于傅立葉級數(shù)。帕塞瓦爾定理的表述是這樣的：

綜上所述，原結(jié)論得證。
前面我們也介紹過復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)，下面我們來推導(dǎo)與復(fù)數(shù)形式傅立葉變換相對應(yīng)的帕塞瓦爾等式。這里再次給出傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式表達(dá)式，具體推導(dǎo)過程請讀者參閱前文

帕塞瓦爾定理把一個信號的能量或功率的計算和頻譜函數(shù)或頻譜聯(lián)系起來了，它表明一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。換言之，能量信號的總能量等于各個頻率分量單獨貢獻(xiàn)出來的能量的連續(xù)和；而周期性功率信號的平均功率等于各個頻率分量單獨貢獻(xiàn)出來的功率之和。

1.1.2 級數(shù)的斂散

關(guān)于上面這個級數(shù)斂散性的討論，在數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)是一個非常有名的問題。大數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾經(jīng)在惠更斯的指導(dǎo)下對級數(shù)的斂散性進(jìn)行過研究。后來萊布尼茲的學(xué)生伯努利兄弟（雅各·伯努利和約翰·伯努利）從他們老師的某些研究成果出發(fā)，最終證明了調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性，以及幾何級數(shù)的收斂性。但是幾何級數(shù)最終收斂到多少這個問題卻一直困擾著他們。最終，雅各布也不得不帶著幾分絕望的懇求宣告了他的失敗：“如果有人能夠發(fā)現(xiàn)并告知我們迄今為止尚未解出的難題的答案，我們將不勝感謝。”所幸的是，幾何級數(shù)到底等于多少這個難題最終被約翰·伯努利的學(xué)生歐拉所破解。歐拉使用了一種極其巧妙的方法得出

1.1 極限及其應(yīng)用

極限的概念是微積分理論賴以建立的基礎(chǔ)。在研究極限的過程中，我們一方面會證明許多在圖像處理中將要用到的公式，另一方面還會得到所謂的自然常數(shù)（或稱納皮爾常數(shù)）。圖像處理技術(shù)中的很多地方都會遇到它，例如用來對圖像進(jìn)行模糊降噪的高斯函數(shù)，以及泊松噪聲中都會有自然常數(shù)出現(xiàn)。而且在本文稍往后的內(nèi)容還會講到歐拉公式，屆時自然常數(shù)還將會再次出現(xiàn)。

1.1.1 數(shù)列的極限

1.3.7 曲面積分

關(guān)于這部分內(nèi)容的討論，既闡明了第二類曲面積分的實際意義，其實也明確了兩類曲面積分之間的關(guān)聯(lián)。需要說明的是，在后面的介紹中，我們將更多地采用通量這個提法來替代此前所用的流量。通量是更廣義的說法，如果考慮的向量場是流速場的話，那么通量就是流量，如果考慮的是電場或者磁場的話，那么通量就是電通量或者磁通量。

在泛函分析中，索伯列夫空間并不像 巴拿赫空間或者希爾伯特空間那么引入注意。但是在圖像處理中，索伯列夫空間在介紹BV空間（有界變差函數(shù)空間）時，會被提到。而BV函數(shù)空間對于理解TV算法（偏微分方程在圖像處理中的重要內(nèi)容）至關(guān)重要！所以我特別在“圖像處理中的數(shù)學(xué)原理詳解”系列文章中留出一個小節(jié)來對索伯列夫空間進(jìn)行必要的介紹。

2.3.7 索伯列夫空間

由廣義導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，這種導(dǎo)數(shù)不是關(guān)于函數(shù)的個別點處局部性質(zhì)反映，因為它是通過在整個區(qū)間上積分的極限來確定的，而積分是一種關(guān)于函數(shù)的整體性質(zhì)的概念。但也應(yīng)該指出，廣義導(dǎo)數(shù)其實是對通常意義下導(dǎo)數(shù)概念的推廣。如果函數(shù)本身是通常意義下可微的，則其導(dǎo)函數(shù)與廣義導(dǎo)數(shù)是一致的。

2.3.5 內(nèi)積空間

? ? ? 前面我們已經(jīng)討論過關(guān)于內(nèi)積的話題，此處以公理化的形式給出內(nèi)積的定義。

2.3.2 距離空間
? ? ? ? 盡管在線性空間上我們已經(jīng)可以完成簡單的線性運算，但這仍然不能滿足我們的需求。為了保證數(shù)學(xué)刻畫的精確性，還必須引入距離的概念。本文最初是從極限開始講起的，它是因此微積分的必備要素之一，而極限的概念顯然也是基于距離上無限接近這樣一種角度來描述的。

? ? ? ?由此，在距離空間中，可以引入“任意逼近”的概念，即極限概念。一般來說，一個集合如果能夠在其中確切地引入任意逼近的概念，就稱之為“拓?fù)淇臻g”。而距離空間是一種最常用的拓?fù)淇臻g。

2.3? 泛函與抽象空間

牛頓說：“把簡單的問題看得復(fù)雜，可以發(fā)現(xiàn)新領(lǐng)域；把復(fù)雜的問題看得簡單，可以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。”而從歷史的角度來看，一個學(xué)科的發(fā)展也亦是如此。隨著學(xué)科的發(fā)展，最開始的一個主干方向會不斷衍生出各自相對獨立的分支，這也就是所謂“把簡單的問題看得復(fù)雜”的過程。然而，一旦學(xué)科發(fā)展到一定程度之后，某些分支學(xué)科又開始被抽象綜合起來，這也就是所謂“把復(fù)雜的問題看得簡單”的過程。例如，在很長一段時間里，物理學(xué)家們都把電和磁看成是兩種獨立的物理現(xiàn)象在研究，當(dāng)學(xué)科研究積累到一定程度時，麥克斯韋就創(chuàng)立了電磁學(xué)從而完成了物理學(xué)中的一次大綜合。而在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，幾何與代數(shù)也曾經(jīng)在很長的一段時間里是彼此獨立的。直到笛卡爾引入了直角坐標(biāo)系的概念之后，人們才開始建立了一種代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，也就是所謂的解析幾何。泛函分析也是對以往許多數(shù)學(xué)問題或者領(lǐng)域進(jìn)行高度抽象和綜合的結(jié)果，其主要研究對象之一是抽象空間。其實在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，讀者已經(jīng)建立了一種從矩陣到線性方程組之間的一種聯(lián)系。而在泛函分析中，實數(shù)系、矩陣、多項式以及函數(shù)族這些看似關(guān)聯(lián)不大的概念都可以抽成空間。由于泛函分析是一門比較晦澀抽象的學(xué)問，讀者應(yīng)該注意聯(lián)系以往學(xué)習(xí)中比較熟悉的一些已知的、具體的概念，從而幫助自己理解那些全新的、抽象的概念。此外，需要說明的是本部分內(nèi)容的重點在于有關(guān)定義或者概念的介紹，希望讀者能夠努力領(lǐng)會這些定義或者概念。

2.3.1 ?線性空間

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理中常用数学知识的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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