[THUPC2019]不等式/[51Nod1598]方程最小值

題目大意：

給定\(a_{1\sim n}\)和\(b_{1\sim n}\)，令\(f_k(x)=\sum_{i=1}^k|a_ix+b_i|\)。對于所有\(k=1\sim n\)，求\(f_k\)在\(\mathbb{R}\)中的最小值。

\(1\le n\le 5\times10^5,|a_i|,|b_i|<10^5\)

思路：

\[\sum_{i=1}^k|a_ix+b_i|=\sum_{i=1}^k|a_i||x+\frac{b_i}{a_i}|\]

畫在數軸上就是在\(-\frac{b_i}{a_i}\)（即零點）的位置有\(|a_i|\)個點。要找到一個位置\(x\)，使得\(x\)到所有點的距離之和最小。

根據小學奧數的那套理論，\(x\)就是所有零點的加權中位數。我們可以用一個大根堆、一個小根堆來維護所有的零點，并求出中位數。

考慮函數加上絕對值后，\(a_i\)實際的符號。對于\(-\frac{b_i}{a_i}<x\)的函數來說，\(a_i>0\)；反之\(a_i<0\)。因此我們可以在對兩個堆中的元素分別維護考慮絕對值后\(a_i,b_i\)之和。即可求出最終\(f_k(x)\)的最小值。

時間復雜度\(\mathcal O(n\log n)\)。

源代碼：

#include<queue> #include<cstdio> #include<cctype> #include<cassert> #include<algorithm> inline int getint() {register char ch;register bool neg=false;while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';register int x=ch^'0';while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');return neg?-x:x; } const int N=5e5+1; using int64=long long; using Node=std::pair<double,int>; std::priority_queue<Node,std::vector<Node>,std::greater<Node>> q1;//small std::priority_queue<Node,std::vector<Node>,std::less<Node>> q2;//big int64 s1,s2,a1,a2,b1,b2,a[N],b[N]; double o[N]; int main() {const int n=getint();for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint();for(register int i=1;i<=n;i++) b[i]=getint();for(register int i=1;i<=n;i++) {if(a[i]!=0) {o[i]=-1.*b[i]/a[i];if(s1&&o[i]>q1.top().first) {q1.push(std::make_pair(o[i],i));if(a[i]>0) a[i]=-a[i],b[i]=-b[i];a1+=a[i]; b1+=b[i];s1+=std::abs(a[i]);} else {q2.push(std::make_pair(o[i],i));if(a[i]<0) a[i]=-a[i],b[i]=-b[i];a2+=a[i]; b2+=b[i];s2+=std::abs(a[i]);}} else {b1+=std::abs(b[i]);}while(s1>s2) {q2.push(q1.top());const int i=q1.top().second;a1-=a[i]; b1-=b[i];s1-=std::abs(a[i]);a[i]=-a[i]; b[i]=-b[i];a2+=a[i]; b2+=b[i];s2+=std::abs(a[i]);q1.pop();}while(s2>s1) {q1.push(q2.top());const int i=q2.top().second;a2-=a[i]; b2-=b[i];s2-=std::abs(a[i]);a[i]=-a[i]; b[i]=-b[i];a1+=a[i]; b1+=b[i];s1+=std::abs(a[i]);q2.pop();}const double x=s1?q1.top().first:0;printf("%.7f\n",a1*x+b1+a2*x+b2);}return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/skylee03/p/10908162.html

總結

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