求\[\sum_{k=1}^N f_k\]

顯然這玩意是可以\(O(N)\)的，看起來也不能再優化了。

但是在這個宇宙中確實還存在著更快的算法……

令\[g_n=\sum_{d|n}f_d , F_n=\sum_{k=1}^{n}f_k\]

因為\[\sum_{k=1}^N g_k = \sum_{k=1}^N {f_k \lfloor \frac Nk \rfloor} = \sum_{k=1}^N F_{\lfloor \frac Nk \rfloor}\]

整理得到\[F_N=\sum_{k=1}^N g_k -?\sum_{k=2}^N F_{\lfloor \frac Nk \rfloor}\]

如果能夠在 \(O(\sqrt{N})\)的時間內求出\(\sum_{k=1}^N g_k\)，那么可以在\(O(N^\frac 34)\)的時間內計算出\(F(N)\)。

\(\sum_{k=1}^N g_k\)對于某些特殊的\(g_k\)能做的很快，例如\[\sum_{k=1}^N\sum_{d|k}\mu(d)=1\]\[\sum_{k=1}^N \sum_{d|k}\phi(d)=\sum_{k=1}^N k=\frac{N(N+1)}{2}\]

如果\(g_n\)能夠很快的計算，那么可以對于\(n \leq N^\frac 23\)線性暴力計算\(F_n\)，否則遞歸計算，可以做到\(O(N^\frac 23)\)。

轉載于:https://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3847466.html

總結

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