市場風險中性假設的r0只是等效r的其中之一

于德浩

2020.6.23

在BS期權定價方程中，用到了一個市場風險中性假設，可后來人們發現，由此方程解出的期權價格C不僅適用于理想的市場風險中性條件，也符合現實的風險厭惡或風險未知的情形。

我在上一篇的推導中，指出BS期權定價方程是特殊條件下成立，但解得的認購期權價格C具有一般普適性。因為，我們只要找到一個等效的收益率r，使得a*r1-b*r2=(a-b)*r成立即可。顯然，r=r1=r2=r0，（市場中性條件，都是無風險收益率），這是其中一個特解。 當r1與r2不相等時，任意市場風險情形下，我們依然可以找到這個等效收益率r=（a*r1-b*r2）/（a-b）。這就是解出的期權價格具有一般普適性的根本原因。

這里的具體實踐應用，就是在BS期權定價公式中，進行市場價格數據擬合時，調節不同的r和σ。

數據實證。 在2020.5.19日，上證50ETF股價收盤2.852元。當時，剩余35天的認購期權，行權價從2.7500到2.9500的5個合約價格依次是，0.1165元，0.0823，0.0530，0.0324，0.0192元。 最近20個交易日的年化歷史波動率，行情軟件顯示為11.1%；隱波是9.70%，12.38%，12.93%，13.49%，14.12%。

顯然，行情軟件顯示的隱含波動率是根據BS期權定價公式反推得到的。我們可以編一個Python小程序去計算期權價格。 我們代入5個參數，S0=2.852, K=2.8500, T=35/365.0; r=0.05, sigma=0.1293。就可以得到平值期權2.85的理論價格是0.05367元，這與市場價0.0530是吻合的。 對于虛一2.9認購期權，參數r=0.05，sigma=0.1349，輸出是0.03267；與市場價0.0324吻合。 對于虛二2.95認購，參數r=0.05，sigma=0.1412，輸出是0.01923；與市場價0.0192吻合。對于實一2.8認購，參數r=0.05，sigma=0.1238，輸出是0.08347；與市場價0.0823吻合。

也就是說，行情軟件中，設定的市場無風險收益率參數r0=5%。 這里有一個疑惑，就是年5%收益率，要比實際的無風險的銀行存款收益率年2%大。 如果，我們在自己的小程序中，把r=0.05變成0.02，那么輸出的理論平值期權價格就是0.04932，比市場價低7%。

其實，我們也能看到BS期權定價公式的不足之處，就是，為了能與市場價數據吻合，得不斷調整隱含波動率才行，而且都比已知的歷史波動率0.1110要高。 當然，由于這幾個隱波參數相差不大，與歷史波動率也相差不太大，也說明BS期權定價理論公式還是相當好的。

現在，我們固定隱含波動率=歷史波動率=0.1110，去調節參數r（等效的收益率）去擬合數據。 平值期權2.85，參數r=0.09，sigma=0.1110，就可以輸出0.05360；對于虛一2.9認購，參數r=0.12，sigma=0.1110，就可以輸出0.03224；對于虛二2.95認購，參數r=0.17，sigma=0.1110，就可以輸出0.01929。 對于實一2.8認購，參數r=0.07，sigma=0.1110，輸出是0.08386；對于實二2.75認購，參數r=0.03，sigma=0.1110，輸出是0.1160；與市場價0.1165吻合。 這個解釋更合理，股價的預期波動率不變，但是風險越高的虛值期權，其預期等效收益率也越高。

就是說，對于同一個BS期權定價公式，由于有兩個未知的參數r和σ，對于市場數據的解釋，有三種說法。一是傳統的市場中性解釋，r就是無風險收益率，是銀行存款利率年2%，這個不能動，我們用r=0.02,sigma=0.1393,就能與市場價格0.0530元吻合。美中不足的是這個波動率參數0.1393比歷史波動率0.111要大些，我們稱之為隱含波動率。也許這個隱含波動率與歷史波動率本就不相等。

第二種解釋，我們用r=0.05,sigma=0.1293,也能吻合市場價格。 這樣，我們的隱波要更接近歷史波動率的大小，但是，這里認為，這個無風險收益率r，應該是債券類風險資產的收益率，與實際的銀行存款無風險收益率不是一回事。

第三種解釋，我用r=0.09，sigma=0.111=歷史波動率，也能吻合市場價格。 隱含波動率是客觀存在的，應該一樣，并且與應該與歷史波動率相等。 而r是一個等效收益率，風險資產不同，r也就不相同。 顯然定性的講，風險越大，這個r就會越大，這是風險補償。

對于平值期權，投資組合的等效收益率是年9%。這是做空1份平值認購期權，同時做多0.5份正股。 把期權價格0.0530元，股價2.852元代入，股票年均收益率μ=10%。就是，(0.5*2.852-0.0530)*0.09=0.5*2.852*0.10-0.053*rx。 從而解得認購期權的預期年均收益率rx=0.36。

對于虛二期權，(0.3*2.852-0.0192)*0.17=0.3*2.852*0.10-0.0192*ry。解得ry= -2.95 。虛二認購期權的預期收益率是負值？ 意思是，由于股票收益率是μ=0.10，那么虛二認購期權，一般情形下，不會行權。所以，買虛值期權，預期收益就是虧損。 對于虛一認購期權，(0.4*2.852-0.0324)*0.12=0.4*2.852*0.10-0.0324*rz。解得ry= -0.58。 對于實一認購，(0.7*2.852-0.0823)*0.07=0.7*2.852*0.10-0.0823*r。 解得r=0.80。 不大對啊，應該估計是平值期權收益最大啊？ 對于實二認購，(1.0*2.852-0.1165)*0.03=1.0*2.852*0.10-0.1165*r。 解得r=1.74。 這個就更不對了啊。 這里的問題，應該是把整體的年化收益率μ=10%，近似給了平均局部月收益率0.8%。 實際，如果一個月是上漲的話，月收益率大約是3%。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python行业中性_市场风险中性假设的r0只是等效r的其中之一的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。