根據stein的real analysis對外測度的定義，我們有：

Def：設E為

的任意子集，E的外測度定義為

這里的方塊其實就相當于現實中的一把尺子，用它來衡量一些不規則物體的體積等等。

接下來我們介紹今天的主題，一個比較基礎的關于外測度的定義的等價性。根據上述外測度定義，我們思考：能否用閉矩形來取代閉方塊的定義?

于是開始我們的操作：

Ex:設

，按照如下方式定義E外側度 :

求證：

證明：我們先證 ：

由題設知，我們有

。

我們總能找到一列閉方塊來覆蓋每一個

,且這樣的一列方塊不太大。

即：

這樣，我們有

由

的定義，就有

令ε->0，再對兩邊取下確界，得

然后我們再來證明 ：

由定義：

由于閉方塊一定是閉矩形，那么

的定義是包含于 的。按定義取的下確界，于是當然有

綜上：我們有定義等價，即

.

到這里我們就證明到這個等價定義的正確性。當然我們是否會在此時思考：

能否有開方塊，開矩形，或者更進一步，關于球的等價定義？歡迎大家評論區進行討論或者給出證明。（另：這個證明純屬個人給出，若大家覺得這個證明不嚴謹或者有漏洞，也請評論區大家能指正，感謝！）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的测度定义_Real analysis：外测度的一个等价定义的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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