前言

我們已經學習了二次函數的一般式和頂點式，頂點式展開之后就是一般式，那么一般式能變成頂點式嗎？

如果我們能把一般式轉換為頂點式，那么我們就可以輕松找到二次函數的頂點，從而很容易畫出二次函數。

這個問題還和一元二次方程有關，公元前的人們就已經開始學習一元二次方程，但都沒有給出通用的解法。

直到九世紀，阿拉伯的阿爾·花剌子模在《代數學》中討論了一元二次方程的一般解法。

而最終法國數學家韋達建立了一元二次方程的相關理論，并給出了根與系數的關系，稱為韋達定理。

一元二次方程

和一元一次方程的定義類似，當一個方程中只有二次項，一次項，常數項時，我們就說這是一個二次方程。

首先我們從最簡單的一元二次方程開始：

?

面對這樣一個方程，很容易知道開平方后有兩個解，1和-1。

接著我們看這個方程：

?

這個方程依然很簡單，移項之后開平方，討論正負兩個平方根即可，得到x的兩個解，3和-1。

可以發現只要把一元二次方程，寫成類似二次函數頂點式

?的樣子，就可以很輕松求解。

移項之后必須使右邊的常數項非負，否則無法進行開平方運算，例如方程

?在實數范圍內無解。

探索：在實數范圍內無解的方程有沒有不是實數的解？（復數）

練習：求解

?。

完全平方公式

接著我們來討論二次函數頂點式中的

?，展開計算可知：

?

如果是任意兩個a和b，則有：

?

這被稱為完全平方公式。

通過逆向使用完全平方公式，我們就能把二次函數的一般式轉換為頂點式了。

探索：類似的多項式乘法公式有哪些？

二次函數的配方法

對于一個二次函數的一般式

?，我們有：

?

所以代入計算可以得到：

?

這樣我們就成功把二次函數的一般式轉換為了頂點式，此時二次函數的頂點就是：

?

這種方法被稱為配方法，即分配平方的方法。

練習：將下列二次函數轉化為頂點式。

一元二次方程的求解

利用配方法，我們就可以把一元二次方程變形成類似二次函數頂點式，從而求解了，例如；

最后得到x的兩個解為1或-3，也叫方程的兩個根。

探索：一元二次方程還有其他的解法嗎？（因式分解法）

如果開平方的是0，最后的兩個根相等，我們說這個方程有二重根。

如果開平方的是負數，我們說這個方程在實數范圍無解。

探索：為什么要有重根？多重根有什么性質？

我們在一次函數的學習中知道，方程的解就是對應函數和x軸的交點，在函數中也被叫做零點。

因此我們可以通過求解對應一元二次方程來計算出二次函數和x軸的交點。

練習：用配方法解下列方程。

?

尾聲

到此為止我們已經掌握了二次函數的各類性質，以及一元二次方程的解法，從理論上來說已經可以解決絕大部分初中的一元分析問題了。

不過實際上，二次函數還有許多特殊的性質，解一元二次方程的方法也多種多樣，和其他的知識結合后更是能產生無窮無盡的綜合壓軸題。我們將在后續課程中講述這些內容。

預習：對于一般的一元二次方程

?，如何判斷方程是否可解，并計算方程的解？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python计算一元一次方程的根_5-2 一元二次方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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