本文主要介紹了高斯濾波器的原理及其實現過程高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器窗口內的像素的均值作為輸出。其窗口模板的系數和均值濾波器不同，均值濾波器的模板系數都是相同的為1;而高斯濾波器的模板系數，則隨著距離模板中心的增大而系數減小。所以，高斯濾波器相比于均值濾波器對圖像個模糊程度較小。
什么是高斯濾波器既然名稱為高斯濾波器，那么其和高斯分布(正態分布)是有一定的關系的。一個二維的高斯函數如下：其中(x,y)(x,y)為點坐標，在圖像處理中可認為是整數;σσ是標準差。要想得到一個高斯濾波器的模板，可以對高斯函數進行離散化，得到的高斯函數值作為模板的系數。例如：要產生一個3×33×3的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標原點進行取樣。模板在各個位置的坐標，如下所示(x軸水平向右，y軸豎直向下)這樣，將各個位置的坐標帶入到高斯函數中，得到的值就是模板的系數。對于窗口模板的大小為(2k+1)×(2k+1)，模板中各個元素值的計算公式如下：這樣計算出來的模板有兩種形式：小數和整數。
高斯模板的生成知道模板生成的原理，實現起來也就不困難了void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma){ static const double pi = 3.1415926; int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標的原點 double x2, y2; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - center, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - center, 2); double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma)); g /= 2 * pi * sigma; window[i][j] = g; } } double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數歸一化為1 for (int i = 0; i < ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { window[i][j] *= k; } }}需要一個二維數組，存放生成的系數(這里假設模板的最大尺寸不會超過11);第二個參數是模板的大小(不要超過11);第三個參數就比較重要了，是高斯分布的標準差。生成的過程，首先根據模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然后就是遍歷，根據高斯分布的函數，計算模板中每個系數的值。需要注意的是，最后歸一化的過程，使用模板左上角的系數的倒數作為歸一化的系數(左上角的系數值被歸一化為1)，模板中的每個系數都乘以該值(左上角系數的倒數)，然后將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板。下面截圖生成的是，大小為3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板對上述解結果取整后得到如下模板：這個模板就比較熟悉了，其就是根據σ=0.8的高斯函數生成的模板。至于小數形式的生成也比較簡單，去掉歸一化的過程，并且在求解過程后，模板的每個系數要除以所有系數的和。具體代碼如下：void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma){ static const double pi = 3.1415926; int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標的原點 double x2, y2; double sum = 0; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - center, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - center, 2); double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma)); g /= 2 * pi * sigma; sum += g; window[i][j] = g; } } //double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數歸一化為1 for (int i = 0; i < ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { window[i][j] /= sum; } }}3×3,σ=0.8的小數型模板。
σσ值的意義及選取通過上述的實現過程，不難發現，高斯濾波器模板的生成最重要的參數就是高斯分布的標準差σσ。標準差代表著數據的離散程度，如果σσ較小，那么生成的模板的中心系數較大，而周圍的系數較小，這樣對圖像的平滑效果就不是很明顯;反之，σσ較大，則生成的模板的各個系數相差就不是很大，比較類似均值模板，對圖像的平滑效果比較明顯。來看下一維高斯分布的概率分布密度圖：橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那么不難理解這樣一個曲線與x軸圍成的圖形面積為1。σσ(標準差)決定了這個圖形的寬度，可以得出這樣的結論：σσ越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩;σσ越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實很好理解，如果sigma也就是標準差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由于面積為1，于是尖峰部分減小，寬度越寬(分布越分散);同理，當σσ越小時，說明密度分布較為集中，于是尖峰越尖，寬度越窄!
于是可以得到如下結論：σσ越大，分布越分散，各部分比重差別不大，于是生成的模板各元素值差別不大，類似于平均模板；σσ越小，分布越集中，中間部分所占比重遠遠高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠遠大于其他元素值，于是自然而然就相當于中間值得點運算。
基于OpenCV的實現在生成高斯模板好，其簡單的實現和其他的空間濾波器沒有區別，具體代碼如下：void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma){ CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像 const static double pi = 3.1415926; // 根據窗口大小和sigma生成高斯濾波器模板 // 申請一個二維數組，存放生成的高斯模板矩陣 double **templateMatrix = new double*[ksize]; for (int i = 0; i < ksize; i++) templateMatrix[i] = new double[ksize]; int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原點 double x2, y2; double sum = 0; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - origin, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - origin, 2); // 高斯函數前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去 double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma)); sum += g; templateMatrix[i][j] = g; } } for (int i = 0; i < ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { templateMatrix[i][j] /= sum; cout << templateMatrix[i][j] << " "; } cout << endl; } // 將模板應用到圖像中 int border = ksize / 2; copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT); int channels = dst.channels(); int rows = dst.rows - border; int cols = dst.cols - border; for (int i = border; i < rows; i++) { for (int j = border; j < cols; j++) { double sum[3] = { 0 }; for (int a = -border; a <= border; a++) { for (int b = -border; b <= border; b++) { if (channels == 1) { sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at(i + a, j + b); } else if (channels == 3) { Vec3b rgb = dst.at(i + a, j + b); auto k = templateMatrix[border + a][border + b]; sum[0] += k * rgb[0]; sum[1] += k * rgb[1]; sum[2] += k * rgb[2]; } } } for (int k = 0; k < channels; k++) { if (sum[k] < 0) sum[k] = 0; else if (sum[k] > 255) sum[k] = 255; } if (channels == 1) dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]); else if (channels == 3) { Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) }; dst.at(i, j) = rgb; } } } // 釋放模板數組 for (int i = 0; i < ksize; i++) delete[] templateMatrix[i]; delete[] templateMatrix;}只處理單通道或者三通道圖像，模板生成后，其濾波(卷積過程)就比較簡單了。不過，這樣的高斯濾波過程，其循環運算次數為m×n×ksize2，其中m，n為圖像的尺寸;ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時間復雜度為O(ksize2)，隨濾波器的模板的尺寸呈平方增長，當高斯濾波器的尺寸較大時，其運算效率是極低的。為了，提高濾波的運算速度，可以將二維的高斯濾波過程分解開來。
分離實現高斯濾波由于高斯函數的可分離性，尺寸較大的高斯濾波器可以分成兩步進行：首先將圖像在水平(豎直)方向與一維高斯函數進行卷積;然后將卷積后的結果在豎直(水平)方向使用相同的一維高斯函數得到的模板進行卷積運算。具體實現代碼如下：// 分離的計算void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma){ CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像 // 生成一維的高斯濾波模板 double *matrix = new double[ksize]; double sum = 0; int origin = ksize / 2; for (int i = 0; i < ksize; i++) { // 高斯函數前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去 double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma)); sum += g; matrix[i] = g; } // 歸一化 for (int i = 0; i < ksize; i++) matrix[i] /= sum; // 將模板應用到圖像中 int border = ksize / 2; copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT); int channels = dst.channels(); int rows = dst.rows - border; int cols = dst.cols - border; // 水平方向 for (int i = border; i < rows; i++) { for (int j = border; j < cols; j++) { double sum[3] = { 0 }; for (int k = -border; k <= border; k++) { if (channels == 1) { sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i, j + k); // 行不變，列變化；先做水平方向的卷積 } else if (channels == 3) { Vec3b rgb = dst.at(i, j + k); sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0]; sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1]; sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2]; } } for (int k = 0; k < channels; k++) { if (sum[k] < 0) sum[k] = 0; else if (sum[k] > 255) sum[k] = 255; } if (channels == 1) dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]); else if (channels == 3) { Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) }; dst.at(i, j) = rgb; } } } // 豎直方向 for (int i = border; i < rows; i++) { for (int j = border; j < cols; j++) { double sum[3] = { 0 }; for (int k = -border; k <= border; k++) { if (channels == 1) { sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i + k, j); // 列不變，行變化；豎直方向的卷積 } else if (channels == 3) { Vec3b rgb = dst.at(i + k, j); sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0]; sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1]; sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2]; } } for (int k = 0; k < channels; k++) { if (sum[k] < 0) sum[k] = 0; else if (sum[k] > 255) sum[k] = 255; } if (channels == 1) dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]); else if (channels == 3) { Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) }; dst.at(i, j) = rgb; } } } delete[] matrix;}代碼沒有重構較長，不過其實現原理是比較簡單的。首先得到一維高斯函數的模板，在卷積(濾波)的過程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運算;接著在上述得到的結果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運算。這樣分解開來，算法的時間復雜度為O(ksize)O(ksize)，運算量和濾波器的模板尺寸呈線性增長。在OpenCV也有對高斯濾波器的封裝GaussianBlur，其聲明如下：CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize, double sigmaX, double sigmaY = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT );二維高斯函數的標準差在x和y方向上應該分別有一個標準差，在上面的代碼中一直設其在x和y方向的標準是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設置不同的標準差。下圖是自己實現的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結果對比上圖是5×5,σ=0.8的高斯濾波器，可以看出兩個實現得到的結果沒有很大的區別。
總結高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對二維高斯函數離散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波后的結果相對于均值濾波器來說更好。高斯濾波器最重要的參數就是高斯分布的標準差σσ，標準差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，σσ越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對圖像的平滑程度就越好。通過調節σσ參數，可以平衡對圖像的噪聲的抑制和對圖像的模糊。
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總結
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