T1（阿牛的EOF牛肉串）

• 題意：一串由EOF三個(gè)字母組成的長(zhǎng)度為\(n\)的字母串，不能出現(xiàn)連續(xù)的OO，求字符串種類數(shù)\(f[n]\)
• 答案：\(f[n]=2f[n-1]+2f[n-2]\) ——①

• 注解：

  如果a[n]取E，該情況下種類為f[n-1]；如果a[n]取F，該情況下種類為f[n-1];如果a[n]取O，則只能取a[n-1]為E或F，分別有f[n-2]種。綜上，一共有f[n-1]+f[n-1]+f[n-2]+f[n-2]種。

T2 （原題找不到了，懇請(qǐng)見(jiàn)過(guò)的巨佬提供線索）

• 題意：一串由WAC三個(gè)字母組成的長(zhǎng)度為\(n\)的字母串，不能出現(xiàn)連續(xù)的WA，求字符串種類數(shù)\(f[n]\)
• 答案：\(f[n]=3f[n-1]-f[n-2]\) ——②

• 注解：

  先假設(shè)沒(méi)有非法字符串，那么很明顯，總數(shù)是3f[n-1];再去掉a[n-1]和a[n]組成非法串的情況，此時(shí)等價(jià)于固定a[n-1]與a[n]，求前面n-2個(gè)的排序，為f[n-2];綜上，一共有3f[n-1]-f[n-2]種。

數(shù)學(xué)課講題的話到這里為止吧

比較

這兩題看似相似，其題解分別看來(lái)也都很有道理，為什么其結(jié)果卻大相徑庭呢？

為什么T1不適合用②式：

因?yàn)槿サ舻暮欠ㄗ址那闆r不是f[n-2]。

因?yàn)樵谇骹[n]時(shí)我們已經(jīng)事先使前n-1項(xiàng)合法，所以在f[n-1]（我們用來(lái)乘以三作為總數(shù)的）中a[n-1]為O的可能性比T2中a[n-1]為W的可能性小。

這是因?yàn)?#xff0c;a[n-1]中的O可以作為非法串的尾，與a[n-2]組成OO。因此，在求f[n-1]時(shí)已經(jīng)有一部分a[n-1] 為O的情況被篩掉了。

但對(duì)于T2，在求f[n-1]時(shí)不可能把a(bǔ)[n-1]為W的情況篩掉，因?yàn)閃只能做頭，不能做尾。

為什么T2不適合用①式：

我的理解當(dāng)中比較重要的點(diǎn)

• 求f[n]時(shí)對(duì)a[n]的假設(shè)是在保證a[1]~a[n-1]合法的基礎(chǔ)上的，并在此基礎(chǔ)上對(duì)a[n-1]進(jìn)行分類討論。在求f[n]時(shí)實(shí)際上是對(duì)a[n]的放置，我們要避免的是a[n-1]與a[n]形成非法字符串。

• T1中的O既可以當(dāng)非法子串的頭，也可以當(dāng)尾，這應(yīng)該是這兩種情況不同的根本原因。

• 由上述分析可見(jiàn)n>=3時(shí)T1的f[n]總比T2大，因?yàn)槲覀兿燃僭O(shè)沒(méi)有非法串求其總數(shù)，之后要去掉含有非法串的情況，對(duì)于T1來(lái)說(shuō)同一個(gè)O既可以當(dāng)頭又可以當(dāng)尾，因此它的去除具有“簡(jiǎn)并性”（逃。

注

• 時(shí)間關(guān)系，懶得舉特例來(lái)具體對(duì)照了，以后補(bǔ)。

• 另外，以上的比較與分析，只是本蒟蒻因?yàn)槟承┢嫫婀止值脑?講數(shù)學(xué)題去找遞推題后，發(fā)現(xiàn)的疑惑以及自己的解惑思路。像我這樣菜的人對(duì)遞推還沒(méi)有更深刻的理解，因此本文中還有很多不恰當(dāng)?shù)恼`解和錯(cuò)誤，在語(yǔ)言組織與文章結(jié)構(gòu)方面也顯得很不成熟，懇請(qǐng)屏幕前的巨佬不吝賜教，一起交流這些奇奇怪怪(毒瘤的想法。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Y15BeTa/p/11013624.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的两道递推公式题的解题报告的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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