【概述】

? ? 0-1背包問題是最基本的背包問題，它包含了背包問題中設計狀態、方程的最基本思想，另外，別的類型的背包問題往往也可以轉換成0-1背包問題求解。

????特點：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

【題目】

????有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的體積是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

【基本思路】

子問題：將前i件物品放入容量為v的背包中。

????若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。

如果不放第i件物品，那么子問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價值為：f[i-1][v]；

如果放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-w[i]的背包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-w[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]，即：f[i-1][v-w[i]]+c[i]。

用子問題定義狀態：f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。

則其狀態轉移方程：f[i][v]=max{ f[i-1][v] , f[i-1][v-w[i]]+c[i] }

【初始化的細節問題】

我們看到的求最優解的背包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。

有的題目要求“恰好裝滿背包”時的最優解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價格盡量大。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果要求恰好裝滿背包，那么在初始化時除了f[0]為0其它f[1..V]均設為-∞

如果要求價格盡量最大，初始化時應該將f[0..V]全部設為0

原因：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合法狀態。

如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。

如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

注：此種方法可推廣至各種背包問題，后續不再講解

【優化空間復雜度】

以上方法的時間和空間復雜度均為O(N*V)，其中時間復雜度基本已經不能再優化了，但空間復雜度卻可以優化到O(V)。

先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組f[i][0..V]的所有值。

那么，如果只用一個數組f[0..V]，能不能保證第i次循環結束后f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主循環中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]的值呢？

事實上，這要求在每次主循環中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-w[i]]保存的是狀態f[i-1][v-w[i]]的值。

偽代碼

for i=1..Nfor v=V..0f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};

????其中，f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]}相當于轉移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]}，因為現在的f[v-w[i]]就相當于原來的f[i-1][v-w[i]]。如果將v的循環順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另一個重要的背包問題P02最簡捷的解決方案，故學習只用一維數組解01背包問題是十分必要的。

????事實上，使用一維數組解01背包的程序在后面會被多次用到，所以這里抽象出一個處理一件01背包中的物品過程，以后的代碼中直接調用不加說明。

偽代碼

/*過程ZeroOnePack，表示處理一件01背包中的物品兩個參數cost、weight分別表明這件物品的價值和體積 */ procedure ZeroOnePack(cost,weight)for v=V..weightf[v]=max{f[v],f[v-weight]+cost}

注意這個過程里的處理與前面給出的偽代碼有所不同。前面的示例程序寫成v=V..0是為了在程序中體現每個狀態都按照方程求解了，避免不必要的思維復雜度。而這里既然已經抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優化。費用為cost的物品不會影響狀態f[0..cost-1]，這是顯然的。

有了這個過程以后，01背包問題的偽代碼就可以這樣寫：

for i=1..NZeroOnePack(c[i],w[i]);

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 背包问题 P01 —— 0-1背包的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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