【題目】

有 N 種物品和一個容量為 V 的背包。第 i 種物品最多有 num[i] 件可用，每件體積是 w[i]，價值是 c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

【基本思路】

和完全背包問題很類似，基本的方程只需將完全背包問題的方程略微一改即可。

對于第 i 種物品有 num[i]+1種策略：取 0 件，取 1 件……取 num[i] 件，令 f[i][v] 表示前 i 種物品恰放入一個容量為 V 的背包的最大權值。

其與完全背包的區別在于，完全背包中的物品是不限量的，而多重背包的第 i 種物品最多取 num[i] 個

則有狀態轉移方程：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]?}（0<=k<=num[i]），時間復雜度是O(V*Σn[i])

考慮對 f[i][j] 進行空間優化，與完全背包

模版

for(i=1;i<=N;i++)//N種物品for(j=V;j>=0;j--)//容量為Vfor(k=0;k<=num[i];k++)//每種物品最多有num[i]個if(j-k*w[i]>=0)//當前容量-k個物品的重量>=0f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*c[i]);

【轉化為01背包問題求解】

轉化為01背包求解：把第i種物品換成n[i]件01背包中的物品，則得到了物品數為Σn[i]的0-1背包問題，直接求解，復雜度仍然是O(V*Σn[i])。

我們期望將它轉化為01背包問題之后能夠像完全背包一樣降低復雜度。仍然考慮二進制的思想，我們考慮把第i種物品換成若干件物品，使得原問題中第i種物品可取的每種策略——取0..n[i]件——均能等價于取若干件代換以后的物品。另外，取超過n[i]件的策略必不能出現。

方法：將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有一個系數，這件物品的體積和價值均是原來的體積和價值乘以這個系數。使這些系數分別為：1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是滿足n[i]-2^k+1>0的最大整數。

例如，如果n[i]為13，就將這種物品分成系數分別為1,2,4,6的四件物品。

分成的這幾件物品的系數和為n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i種物品。另外這種方法也能保證對于0..n[i]間的每一個整數，均可以用若干個系數的和表示，這個證明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]兩段來分別討論得出。

這樣就將第i種物品分成了O(log n[i])種物品，將原問題轉化為了復雜度為O(V*Σlog n[i])的01背包問題，是很大的改進。

下面給出O(log amount)時間處理一件多重背包中物品的偽代碼：

/*amount表示物品的數量*/ procedure MultiplePack(cost,weight,amount)if weight*amount>=VCompletePack(cost,weight)returninteger k=1while k<numZeroOnePack(k*cost,k*weight)amount=amount-kk=k*2ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 背包问题 P03 —— 多重背包的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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