【概述】

動(dòng)態(tài)規(guī)劃：解決多階段決策問(wèn)題的一種方法。實(shí)際上就是一種排除重復(fù)計(jì)算的算法，更具體的說(shuō)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃就是用空間換取時(shí)間。

多階段決策問(wèn)題：若一類(lèi)問(wèn)題的求解過(guò)程可分為若干個(gè)互相聯(lián)系的階段，在每一個(gè)階段都需作出決策，并影響到下一個(gè)階段的決策。這類(lèi)問(wèn)題的解決，就是要在可以選擇的那些策略間，選一個(gè)最優(yōu)策略，使在預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)下達(dá)到最好的效果。

階段：將所給求解問(wèn)題的過(guò)程恰當(dāng)?shù)胤殖扇舾蓚€(gè)相互聯(lián)系的階段，以便于求解，過(guò)程不同，階段數(shù)就可能不同，描述階段的變量稱(chēng)“階段變量”。

狀態(tài)：描述事物的性質(zhì)，不同事物有不同的性質(zhì)，因而用不同的狀態(tài)來(lái)刻畫(huà)。對(duì)問(wèn)題的求解狀態(tài)的描述是分階段的。描述狀態(tài)的量稱(chēng)“狀態(tài)變量”

決策：一個(gè)階段的狀態(tài)給定以后，從該狀態(tài)演變到下一階段某個(gè)狀態(tài)的選擇性操作。描述決策的變量稱(chēng)決策變量。決策變量的范圍稱(chēng)“允許決策集合”。

無(wú)后效性：我們要求狀態(tài)具有下面的性質(zhì)：如果給定某一階段的狀態(tài)，則在這一階段以后過(guò)程的發(fā)展不受這階段以前各段狀態(tài)的影響，所有各階段都確定時(shí)，整個(gè)過(guò)程也就確定了。換句話(huà)說(shuō)，過(guò)程的每一次實(shí)現(xiàn)可以用一個(gè)狀態(tài)序列表示，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為“無(wú)后效性”。

策略：由每個(gè)階段的決策組成的序列稱(chēng)為策略。對(duì)于每一個(gè)實(shí)際的多階段決策過(guò)程，可供選取的策略有一定的范圍限制，這個(gè)范圍稱(chēng)“允許策略集合”。允許策略集合中達(dá)到最優(yōu)效果的策略稱(chēng)“最優(yōu)策略”。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：用數(shù)學(xué)公式描述與階段相關(guān)的狀態(tài)間的演變規(guī)律。是本階段的狀態(tài)往往是上一階段狀態(tài)和上一階段決策的結(jié)果。如果給定了第K階段的狀態(tài)Sk以及決策uk(Sk)，則第K+1階段的狀態(tài)Sk+1也就完全確定。

【最優(yōu)性原理】

不論初始狀態(tài)和第一步?jīng)Q策是什么，余下的決策相對(duì)于前一次決策所產(chǎn)生的新?tīng)顟B(tài)，構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)決策序列。

最優(yōu)決策序列的子序列，一定是局部最優(yōu)決策子序列。

包含非局部最優(yōu)的決策子序列，一定不是最優(yōu)決策序列。

【無(wú)后效性原則】

某階段的狀態(tài)一旦確定，則此后過(guò)程的演變不再受此前各狀態(tài)及決策的影響。

當(dāng)前狀態(tài)是此前歷史的一個(gè)完整的總結(jié)，此前的歷史只能通過(guò)當(dāng)前的狀態(tài)去影響過(guò)程未來(lái)的演變。

【指導(dǎo)思想】

在做每一步?jīng)Q策時(shí)，列出各種可能的局部解。

依據(jù)某種判定條件，舍棄那些肯定不能得到最優(yōu)解的局部解。

以每一步都是最優(yōu)的來(lái)保證全局是最優(yōu)的。

【基本特征】

問(wèn)題具有多階段決策的特點(diǎn)。

每一階段都有相應(yīng)的“狀態(tài)”與之對(duì)應(yīng)。

每一階段都面臨一個(gè)決策，選擇不同的決策將會(huì)導(dǎo)致下一階段不同的狀態(tài)。

每一階段的最優(yōu)解問(wèn)題可以遞歸地歸結(jié)為下一階段各個(gè)可能狀態(tài)的最優(yōu)解問(wèn)題，各子問(wèn)題與原問(wèn)題具有完全相同的結(jié)構(gòu)。

【一般解題步驟】

判斷問(wèn)題是否具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，若不具備則不能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃

把問(wèn)題分成若干個(gè)子問(wèn)題（分階段）

建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（遞推公式）

找出邊界條件

將已知邊界值帶入方程

遞推求解

【問(wèn)題分類(lèi)】

背包問(wèn)題：點(diǎn)擊這里

線(xiàn)性 DP：點(diǎn)擊這里

區(qū)間 DP：點(diǎn)擊這里

狀壓 DP：點(diǎn)擊這里

數(shù)位 DP：點(diǎn)擊這里

樹(shù)型 DP：點(diǎn)擊這里

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總結(jié)

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