【哈夫曼樹】

1.相關概念

1）葉結點的權值：對葉結點賦予的一個有意義的數值量

2）二叉樹的帶權路徑長度(WPL)：設二叉樹具有 n 個帶權葉結點，從根結點到各葉結點的路徑長度與相應葉節點權值的乘積之和

即：，其中 Wk 為第 k 個葉結點的權值，Lk 為從根結點到第 k 個葉結點的路徑長度

如圖所示，WPL=2*2+3*2+4*2+7*2=4+6+8+14=32

3）哈夫曼樹：給定一組具有確定權值的葉結點，可以構造出不同的二叉樹，其中 WPL 最小的二叉樹稱為哈夫曼樹。

2.哈夫曼樹特點

1）權值越小，離根越遠；權值越大，離根越近。

2）只有度為 0 的葉結點和度為 2 的分支結點，不存在度為 1 的結點

3.哈夫曼算法

1）初始化：由給定的 n 個權值構造 n 棵只有一個根節點的二叉樹，得到一個二叉樹集合 F

2）選取與合并：從二叉樹集合 F 中選取根節點權值最小的兩棵二叉樹分別作為左右子樹構造一棵新的二叉樹，這棵新二叉樹的根節點的權值為其左、右子樹根結點的權值和

3）刪除與加入：從 F 中刪除作為左、右子樹的兩棵二叉樹，并將新建立的二叉樹加入到 F 中

4）重復 2）、3）?步，當集合中只剩下一棵二叉樹時，這棵二叉樹就是哈夫曼樹

4.計算WPL

給出 n 個葉結點的權值，計算構成哈夫曼樹的 WPL

int main() {int n;cin>>n;priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > huffman;for(int i=1;i<=n;i++){int x;cin>>x;huffman.push(x);}int res=0;for(int i=1;i<n;i++){int x=huffman.top();huffman.pop();int y=huffman.top();huffman.pop();int temp=x+y;res+=temp;huffman.push(temp);}cout<<res<<endl;return 0; }

【哈夫曼編碼】

1.編碼

在進行程序設計時，通常給每一個字符標記一個單獨的代碼來表示一組字符，即編碼。

在進行二進制編碼時，假設所有的代碼都等長，那么表示 n 個不同的字符需要??位，這稱為等長編碼。

如果每個字符的使用頻率相等，那么等長編碼無疑是空間效率最高的編碼方法，而如果字符出現的頻率不同，則可以讓頻率高的字符采用盡可能短的編碼，頻率低的字符采用盡可能長的編碼，來構造出一種不等長編碼，從而獲得更好的空間效率。

在設計不等長編碼時，要考慮解碼的唯一性，如果一組編碼中任一編碼都不是其他任何一個編碼的前綴，那么稱這組編碼為前綴編碼，其保證了編碼被解碼時的唯一性。

2.哈夫曼編碼

哈夫曼樹可用于構造最短的前綴編碼方案，即哈夫曼編碼，具體做法如下：

1）設需要編碼的字符集為：，他們在字符串中出現的頻率為：

2）以??作為葉結點，?作為葉結點的權值，構造一棵哈夫曼樹

3）規定哈夫曼編碼樹的左分支代表 0，右分支代表 1，則從根結點到每個葉結點所經過的路徑組成的 0、1 序列即為該葉結點對應字符的編碼

3.實現

struct Node{int weight;Node *lchild,*rchild; }; typedef Node *tree; tree create(int arr[],int n){tree forest[N];tree root=NULL;for (int i=0; i<n; i++){//將所有點存入森林tree temp;temp=(tree)malloc(sizeof(Node));temp->weight = arr[i];temp->lchild = temp->rchild = NULL;forest[i]=temp;}for(int i=1; i<n; i++) {//n-1次循環建哈夫曼樹int minn=-1,minnSub;//minn為最小值樹根下標,minnsub為次小值樹根下標for(int j=0; j<n; j++) {if (forest[j]!=NULL && minn==-1) {minn=j;continue;}if (forest[j]!=NULL) {minnSub=j;break;}}for (int j=minnSub; j<n; j++){//根據minn與minnSub賦值if(forest[j]!=NULL){if(forest[j]->weight < forest[minn]->weight){minnSub=minn;minn=j;}else if(forest[j]->weight < forest[minnSub]->weight){minnSub=j;}}}//建新樹root = (tree)malloc(sizeof(Node));root->weight = forest[minn]->weight + forest[minnSub]->weight;root->lchild = forest[minn];root->rchild = forest[minnSub];forest[minn]=root;//指向新樹的指針賦給minn位置forest[minnSub]=NULL;//minnSub位置為空}return root; } int getWPL(tree &root,int len){//計算哈夫曼樹帶權路徑長度WPLif(root==NULL)return 0;else {if(root->lchild==NULL&&root->rchild==NULL)//葉節點return root->weight*len;elsereturn getWPL(root->lchild,len+1)+getWPL(root->rchild,len+1);} } void HuffmanCoding(tree &root,int len,int arr[]){//哈夫曼樹編碼if(root!=NULL){if(root->lchild==NULL&&root->rchild==NULL){printf("結點為%d的字符的編碼為: ",root->weight);for(int i=0;i<len;i++)printf("%d", arr[i]);printf("\n");}else{arr[len]=0;HuffmanCoding(root->lchild,len+1,arr);arr[len]=1;HuffmanCoding(root->rchild,len+1,arr);}} } int main(){int n=6;//長度int arr[]={3,9,5,12,6,15};//權值tree root=create(arr,n);int WPL=getWPL(root,0);printf("WPL=%d\n",WPL);printf("==========各節點的哈夫曼樹編碼==========\n");HuffmanCoding(root,0,arr);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 二叉树 —— 哈夫曼树与哈夫曼编码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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