【思想基礎(chǔ)】

普通莫隊(duì)常用于維護(hù)區(qū)間答案，比如：對于一個(gè)長度為 n 的序列，給出 m 次詢問，每次詢問區(qū)間 [l,r] 內(nèi)有多少個(gè)不同的顏色，其中 n,m<=100000.

首先考慮暴力，對于每次詢問，遍歷一遍 [l,r]，這樣的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n*m) 的，最壞時(shí)間復(fù)雜度肯定會(huì)超時(shí)，那么考慮換一種方式進(jìn)行暴力。

定義 ql、qr，表示區(qū)間?[ql,qr] 內(nèi)有多少種顏色，再定義 cnt 數(shù)組，cnt[i] 表示第 i 種顏色在區(qū)間 [ql,qr] 中出現(xiàn)的次數(shù)，然后一個(gè)個(gè)處理詢問，對于詢問 [l,r]，挪動(dòng) ql 到 l，qr 到 r.

以下圖為例，進(jìn)行模擬：

對于區(qū)間 [ql,qr]，初始狀態(tài)如上，假設(shè)藍(lán)色為 1，紅色為 2，綠色為 3，那么：cnt_1=3，cnt_2=3，cnt_3=1

將 qr 向右挪一下，那么多了一個(gè)綠色，使得：cnt_3=cnt_3+1=2

將 qr 繼續(xù)向右挪動(dòng)，那么多了一個(gè)紅色，使得：cnt_2=cnt_2+1=4，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，右指針?qr 與詢問右端點(diǎn) r 重合，那么可以對左指針進(jìn)行挪動(dòng)

對 ql 向右挪動(dòng)，那么少了一個(gè)藍(lán)色，使得：cnt_1=cnt_1-1=2，此時(shí)左指針 ql 與詢問左端點(diǎn) l 重合，可得出答案：cnt_1=2，cnt_2=4，cnt_3=2.

通過以上模擬可以發(fā)現(xiàn)，每次挪動(dòng)都是 O(1)，每次詢問最多挪動(dòng) n 次，這樣時(shí)間復(fù)雜度依舊是 O(n*m)，但通過對以上過程的模擬可以發(fā)現(xiàn)，這樣暴力的耗時(shí)就消耗在挪動(dòng)次數(shù)上，因此只要讓挪動(dòng)的次數(shù)盡可能的少就可以極大的降低時(shí)間復(fù)雜度。

而要想讓挪動(dòng)次數(shù)盡可能的小，可以將 m 次詢問全部存儲下來，然后按照某種方法進(jìn)行排序，從而減少挪動(dòng)次數(shù)，但這樣的方法是強(qiáng)行離線，然后進(jìn)行排序，因此普通莫隊(duì)是不支持修改的。

int l=1,r=0,ans=0; for(int i=1;i<=m;i++){while(l>q[i].l) add(--l);//[l-1,r]while(l<q[i].l) del(l++);//[l+1,r]while(r<q[i].r) add(++r);//[l,r+1]while(r>q[i].r) del(r--);//[l,r-1]res[q[i].id]=ans;//存儲答案 }

【分塊】

對于 n 與 m 同階的情況，一般設(shè)塊長度為?，經(jīng)過排序后，每個(gè)塊內(nèi)均攤有 ?個(gè)詢問的 l 左端點(diǎn)，那么顯然這 l 個(gè)端點(diǎn)的右端點(diǎn)是有序的，最多會(huì)移動(dòng) n 次，因此對于每個(gè)塊的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)，然后有 ?個(gè)塊，那么這樣的總復(fù)雜度為?，而對于詢問 m 特別大的情況，?會(huì)超時(shí)，因此需要用到其他的長度。

設(shè)塊長度為 S，那么對于任意多個(gè)在同一塊內(nèi)的詢問，挪動(dòng)的距離就是 n，一共有??個(gè)塊，移動(dòng)的總次數(shù)就是?，由于移動(dòng)時(shí)可能會(huì)跨塊，因此還需要加上一個(gè) O(m*S) 的復(fù)雜度，故而總復(fù)雜度為?，由于我們需要讓這個(gè)值盡可能的小，通過簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算可以得出，S 取??是最優(yōu)的，此時(shí)時(shí)間復(fù)雜度為?，而在隨機(jī)情況下，塊的大小為??是最優(yōu)的，大約是原來的 0.9 倍。

需要注意的是，分塊時(shí)塊的大小不是固定的，要根據(jù)題目具體分析，分析的過程如上面分析 m 極大時(shí)的復(fù)雜度。

block=n/sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，不卡常數(shù)時(shí) block=sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，卡常數(shù)時(shí)

【排序】

將 m 次詢問強(qiáng)制離線進(jìn)行進(jìn)行排序，一種方法是優(yōu)先按照左端點(diǎn)進(jìn)行排序，這樣的排序可以保證左端點(diǎn)只會(huì)右挪，但右端點(diǎn)最壞的情況還是每次從最前面挪動(dòng)到最后面，再從最后面挪到最前面，這樣的時(shí)間復(fù)雜度依然是 O(n*m)，因此要考慮一種使左右端點(diǎn)挪動(dòng)次數(shù)盡可能少的排序方法。

考慮將長度為 n 的序列分為??個(gè)長度為??的塊，若左端點(diǎn)在同一個(gè)塊內(nèi)，則按照右端點(diǎn)排序，即以左端點(diǎn)所在塊為第一關(guān)鍵字，右端點(diǎn)位置為第二關(guān)鍵字。

bool cmp(node a,node b){//正常排序if(a.l/block==b.l/block)//左端點(diǎn)在一個(gè)塊中return a.r<b.r;//按照右端點(diǎn)從小到大排序else//左端點(diǎn)不在一個(gè)塊中return a.l/block<b.l/block;//按照塊的位置進(jìn)行排序 }

正常排序時(shí)，由于每個(gè)塊的右端點(diǎn)都是按照從小到大排序的，當(dāng)指針跳回左邊后處理下一個(gè)塊又要跳回右邊，增加了不必要的移動(dòng)，因此，此時(shí)可以按照奇偶性排序進(jìn)行優(yōu)化：當(dāng)左端點(diǎn)的塊為奇數(shù)時(shí)，右端點(diǎn)按照從小到大排；當(dāng)左端點(diǎn)的塊偶數(shù)時(shí)，右端點(diǎn)按照從大到小排。這樣可以保證指針移到右邊不用再跳回左邊，減少一半的操作，理論上可以快一倍。

bool cmp(Node a,Node b){//按照奇偶性排序if( (a.l/block)==(b.l/block) ){//當(dāng)左端點(diǎn)位于同一個(gè)塊時(shí)if( (a.l/block)%2 )//左端點(diǎn)的塊序號為奇數(shù)時(shí)return a.r<b.r;//按照從小到大排else//左端點(diǎn)的塊序號為偶數(shù)時(shí)return a.r>b.r;//按照從大到小排}else//當(dāng)左端點(diǎn)不位于同一個(gè)塊時(shí)return a.l<b.l;//按照塊的位置進(jìn)行排序//return (a.l/block)^(b.l/block) ? a.l<b.l : ( ((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r ); }

【模版】

1.統(tǒng)計(jì) [l,r] 中相同的數(shù)的個(gè)數(shù)

struct Node{int l,r;//詢問的左右端點(diǎn)int id;//詢問的編號 }q[N]; int n,m,a[N]; int block;//分塊 int ans,cnt[N];//cnt[i]為i在當(dāng)前區(qū)間出現(xiàn)次數(shù) int res[N];bool cmp(Node a,Node b){//奇偶性排序return (a.l/block)^(b.l/block)?a.l<b.l:(((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r); } void add(int x){//統(tǒng)計(jì)新的if(!cnt[a[x]])ans++;cnt[a[x]]++; } void del(int x){//減去舊的cnt[a[x]]--;if(!cnt[a[x]])ans--; } int main(){//序列scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);//詢問scanf("%d",&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);q[i].id=i;}block=n/sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，不卡常數(shù)時(shí)//block=sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，卡常數(shù)時(shí)sort(q+1,q+m+1,cmp);//對詢問進(jìn)行排序int l=1,r=0;//左右指針for(int i=1;i<=m;i++){int ql=q[i].l,qr=q[i].r;//詢問的左右端點(diǎn)while(l>ql) add(--l);//[l-1,r]while(l<ql) del(l++);//[l+1,r]while(r<qr) add(++r);//[l,r+1]while(r>qr) del(r--);//[l,r-1]res[q[i].id]=ans;//獲取答案}for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",res[i]);return 0; }

2. 統(tǒng)計(jì) [l,r] 中有出現(xiàn)次數(shù)與其值相同的數(shù)的個(gè)數(shù)

struct Node{int l,r;//詢問的左右端點(diǎn)int id;//詢問的編號 }q[N]; int n,m,a[N]; int block;//分塊 LL ans,cnt[N];//cnt[i]為i在當(dāng)前區(qū)間出現(xiàn)次數(shù) LL res[N];bool cmp(Node a,Node b){//奇偶性排序return (a.l/block)^(b.l/block)?a.l<b.l:(((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r); }void add(int x){//統(tǒng)計(jì)新的if(cnt[a[x]]==a[x])ans--;cnt[a[x]]++;if(cnt[a[x]]==a[x])ans++; } void del(int x){//減去舊的if(cnt[a[x]]==a[x])ans--;cnt[a[x]]--;if(cnt[a[x]]==a[x])ans++; } int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);if(a[i]>n)//大于n肯定不符合a[i]=-1;}for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);q[i].id=i;}ans=0;memset(cnt,0,sizeof(cnt));block=sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，卡常數(shù)sort(q+1,q+m+1,cmp);//對詢問進(jìn)行排序int l=1,r=0;//左右指針for(int i=1;i<=m;i++){int ql=q[i].l,qr=q[i].r;//詢問的左右端點(diǎn)while(l>ql) add(--l);//[l-1,r]while(l<ql) del(l++);//[l+1,r]while(r<qr) add(++r);//[l,r+1]while(r>qr) del(r--);//[l,r-1]res[q[i].id]=ans;//獲取答案}for(int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",res[i]);}return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的分治 —— 莫队算法 —— 普通莫队的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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