【概述】

FF 算法與 EK 算法是求解最大流的一般增廣路方法，其時間復雜度均為 O(n*m*m)

Ford-Fulkerson 算法是求解最大流的最基礎的算法，其核心思想是增廣路定理：網絡達到最大流當且僅當殘留網絡中沒有增廣路

程序的實現過程與增廣路求最大流的過程基本一致，即每一次更新都進行一次找增廣路然后更新路徑上的流量的過程。

在傳統的 FF 算法中，利用 dfs?每次找增廣路的過程十分繁瑣，常常會走冤枉路，此時更新增廣路的復雜度就會增加，EK 算法為了規避這個問題使用了 bfs 來尋找增廣路，然后在尋找增廣路的時候總是向離匯點越來越近的方向去尋找下一個結點。

【基本思想】

1）若存在增廣路徑，則找出一條增廣路徑（通過 BFS）

2）沿著找出的增廣路徑進行更新流量

3）當沒有增廣路時，網絡達到最大流

【沿增廣路徑增廣方法】

第一步：計算可增加流量

? 設：某一增廣路徑結點為 a1,a2,...,an，可增加流的增加流量?dis=INF

? ? 若 (u,v) 是正向邊，則：dis=min(dis,c(ai,aj)-f(ai,aj))，其中：j=i+1,i=1,2,...,n-1

? ? 若 (u,v) 是逆向邊，則：dis=min(dis,f(ai,aj))，其中：j=i+1,i=1,2,...,n-1

第二步：更新流量

? 若 (u,v) 是正向邊，則：f(u,v)=f(u,v)+dis

? 若 (u,v) 是負向邊，則：f(u,v)=f(u,v)-dis（伴隨著這部分流量的減去，必有另一部分的管道流量會增加）

【模版】

1.FF 算法

struct Edge {int to, next;int cap; } edge[N * N]; int head[N], tot; bool vis[N], flag; LL res; void addEdge(int x, int y, int cap) {edge[tot].to = y;edge[tot].cap = cap;edge[tot].next = head[x];head[x] = tot++;edge[tot].to = x;edge[tot].cap = 0;edge[tot].next = head[y];head[y] = tot++; } int dfs(int x, int T, int flow) { // dfs求任意路徑if (x == T) {res += flow;flag = true;return flow;}vis[x] = true;for (int i = head[i]; i != -1; i = edge[i].next) {int x1 = edge[i].to;if (vis[x1] || edge[i].cap == 0)continue;int newFlow = dfs(x1, T, min(flow, edge[i].cap));if (flag) {edge[i].cap -= newFlow;edge[i ^ 1].cap += newFlow;return newFlow;}}return 0; } void FF(int S, int T) { //有增廣路就增廣flag = 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(S, T, INF);while (flag) {flag = 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(S, T, INF);} } int main() {memset(head, -1, sizeof(head));tot = 0;res = 0;int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, cap;scanf("%d%d%d", &x, &y, &cap);addEdge(x, y, cap);}int S = 1, T = n;FF(S, T);printf("%d\n", res);return 0; }

2.EK 算法

int n, m; int cap[N][N]; //容量 int flow[N][N]; //流量int EK(int s, int t) { //沿著增廣路增廣int res = 0; //最大流int dis[N]; // a[i]表示從s到i的最小殘量int p[N]; //增廣路中的上一節點queue<int> Q;while (true) {memset(dis, 0, sizeof(dis));dis[s] = INF;Q.push(s);//計算可增加流量while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();for (int y = 1; y <= n; y++) {if (!dis[y] && cap[x][y] > flow[x][y]) {p[y] = x;Q.push(y);dis[y] = min(dis[x], cap[x][y] - flow[x][y]);}}}if (dis[t] == 0) //當網絡中沒有增廣路徑break;//更新流量for (int x = t; x != s; x = p[x]) {flow[p[x]][x] += dis[t];flow[x][p[x]] -= dis[t];}res += dis[t];}return res; //返回最大流 }int main() {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);memset(cap, 0, sizeof(cap));memset(flow, 0, sizeof(flow));while (m--) {int x, y, w;scanf("%d%d%d", &x, &y, &w); //兩點的容量cap[x][y] = +w; //可能有重邊}printf("%d\n", EK(1, n));return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 网络流 —— 最大流 —— FF 算法与 EK 算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。