【概述】

二叉排序樹（Binary Search Tree），又稱二叉查找樹，其本質(zhì)是按一定的順序進(jìn)行構(gòu)造的二叉樹。

其遞歸定義如下：

• 若其左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于根結(jié)點(diǎn)的值
• 若其右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于根節(jié)點(diǎn)的值
• 其左右子樹也是二叉排序樹

從上述定義可以看出，二叉排序樹是記錄之間滿足一定次序的二叉樹，中序遍歷二叉排序樹可以得到一個(gè)按關(guān)鍵碼有序的序列。

折半查找判定樹就是一棵二叉排序樹：點(diǎn)擊這里

【實(shí)現(xiàn)類】

template<class T> struct Node{T data;Node *lchild,*rchild; }; template<class T> class BiSortTree{ public:BiSortTree(T a[],int n);//構(gòu)造函數(shù)~BiSortTree(){release(root);}//析構(gòu)函數(shù)void insertBST(Node<T> *&root,Node<T> *s);//插入結(jié)點(diǎn)void deleteBST(Node<T> *p,Node<T> *f);//刪除結(jié)點(diǎn)Node<T> *searchBST(Node<T> *bt,int k);//查找結(jié)點(diǎn) private:Node<T> *root;//指向根節(jié)點(diǎn)的頭指針void release(Node<T> *bt);//析構(gòu)函數(shù)調(diào)用 };

【插入操作】

根據(jù)二叉排序樹的定義，向二叉排序樹中插入一個(gè)結(jié)點(diǎn) s 的過程可用如下偽代碼描述：

若 root 是空樹，則將結(jié)點(diǎn) s 作為根節(jié)點(diǎn)插入

否則，若 s->data 小于 root->data，則將結(jié)點(diǎn) s 插入到 root 的左子樹中

否則，將結(jié)點(diǎn) s 插入到 root 的右子樹中

從上述插入過程可以看出，插入的結(jié)點(diǎn)是作為葉結(jié)點(diǎn)插入到二叉排序樹中的，其過程是遞歸進(jìn)行的。

template<class T> void BiSortTree<T>::insertBST(Node<T> *&root,Node<T> *s) {if(root==NULL)root=s;else if(s->data<root->data)insertBST(root->lchild,s);elseinsertBST(root->rchild,s); }

【構(gòu)造函數(shù)】

構(gòu)造二叉排序樹的過程是從空的二叉排序樹開始，依次插入一個(gè)個(gè)結(jié)點(diǎn)，其構(gòu)造過程可用如下偽代碼描述：

依次取每一個(gè)記錄 a[i]，進(jìn)行如下操作：

1）申請(qǐng)一個(gè)數(shù)據(jù)域?yàn)?a[i] 的結(jié)點(diǎn) s，令結(jié)點(diǎn) s 的左右指針域?yàn)榭?/p>

2）調(diào)用插入操作的方法，將結(jié)點(diǎn) s 插入二叉排序樹中

template<class T> BiSortTree<T>::BiSortTree(T a[],int n){for(int i=0;i<n;i++){Node<T> *s;s->data=a[i];s->lchild=NULL;s->rchild=NULL;insertBST(root,s);} }

【刪除操作】

在二叉排序樹中，由于刪除結(jié)點(diǎn)時(shí)，刪除的可能是葉結(jié)點(diǎn)也可能是分支結(jié)點(diǎn)，因此在刪除時(shí)，需要重新修改指針，使得刪除一個(gè)結(jié)點(diǎn)后，仍能保證二叉排序樹的特性。

在二叉排序樹中的刪除操作中，設(shè)待刪除結(jié)點(diǎn)為 p，其父結(jié)點(diǎn)為 f，且 p 是 f 的左孩子，那么可分為以下三種情況進(jìn)行討論：

1.p 為葉結(jié)點(diǎn)

當(dāng)被刪除的結(jié)點(diǎn)為葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，由于刪除后不影響二叉排序樹特性，因此只需將被刪除結(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn) f 的相應(yīng)指針域改為空即可。

如下圖，有：f->lchild=NULL

2.p 只有左子樹 pl 或只有右子樹 pr

當(dāng)被刪除的結(jié)點(diǎn)僅有一棵子樹時(shí)，需要將 pl 或 pr 替換為 f 的左子樹。

如下圖，有：f->lchild=p->lchild 或 f->rchild=p-rchild

3.p 既有左子樹又有右子樹

當(dāng)被刪除的結(jié)點(diǎn)有兩棵子樹時(shí)，需要找其前驅(qū)（即：大于 p 的最小值 或 小于 p 的最大值）來將其代替，然后刪除該前驅(qū)。

綜上，刪除操作可用如下偽代碼描述：

1.若結(jié)點(diǎn) p 是葉結(jié)點(diǎn)，則直接刪除結(jié)點(diǎn) p

2.若結(jié)點(diǎn) p 只有左子樹，則只需重接 p 的左子樹；若結(jié)點(diǎn) p 只有右子樹，則只需重接 p 的右子樹

3.若結(jié)點(diǎn) p 的左右子樹均不空，則：
? 1）查找結(jié)點(diǎn) p 的右子樹上的最左下結(jié)點(diǎn) s 及 s 雙親結(jié)點(diǎn) f
? 2）將結(jié)點(diǎn) s 數(shù)據(jù)域替換到被刪結(jié)點(diǎn) p 的數(shù)據(jù)域
? 3）若結(jié)點(diǎn) p 的右孩子無左子樹，則將 s 的右子樹接到 f 的右子樹上；否則，將 s 的右子樹接到結(jié)點(diǎn) f 的左子樹上
? 4）刪除結(jié)點(diǎn) s?

template<class T> void BiSortTree<T>::deleteBST(Node<T> *p,Node<T> *f){if(p->lchild==NULL && p->rchild==NULL){//p是葉結(jié)點(diǎn)if(f->child==p)f->lchild=NULL;elsef->lchild=NULL;delete p;}else if(p->rchild==NULL){//p只有左子樹if(f->child==p)f->lchild=p->lchild;elsef->rchild=p->lchild;delete p;}else if(p->lchild==NULL){//p只有右子樹if(f->child==p)f->lchild=p->rchild;elsef->rchild=p->rchild;delete p;}else{//左右子樹均不空f=p;Node<T> *s=p->rchild;while(s->lchild!=NULL){//查找最左下結(jié)點(diǎn)f=s;s=s->lchild;}p->data=s->data;if(f==p)//特殊情況p->rchild=s->rchild;else//一般情況f->lchild=s->rchild;delete s;} }

【查找操作】

由于二叉排序樹的定義，在二叉樹中查找給定值 k 的過程是：

• 若 root 是空樹，查找失敗
• 若 k=root->data，查找成功
• 若 k<root->data，在 root 的左子樹進(jìn)行查找
• 若 k>root->data，在 root 的右子樹進(jìn)行查找

上述過程一直持續(xù)到 k 被找到或者待查找的子樹為空，若待查找的子樹為空，則查找失敗。值得注意的是，當(dāng)查找失敗時(shí)，恰好找到了以 k 為鍵值的新結(jié)點(diǎn)在二叉排序樹中的插入位置。

template<class T> Node<T> *BiSortTree<T>::searchBST(Node<T> *bt,int k){if(bt==NULL)return NULL;else if(bt->data==k)return bt;else if(k<bt->data)return searchBST(bt->lchild,k);elsereturn searchBST(bt->rchild,k); }

【析構(gòu)函數(shù)】

二叉排序樹的析構(gòu)函數(shù)與二叉鏈表的析構(gòu)函數(shù)相同

template<class T> void BiSortTree<T>::release(Node<T> *bt){if(bt!=NULL){release(bt->lchild);release(bt->rchild);delete bt;} }

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 查找 —— 二叉排序树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。