【概述】

Matrix-Tree 定理又稱基爾霍夫矩陣樹定理，其用于解決：給定 n 個點 m 條邊的無向圖，求圖的生成樹個數的問題。

其利用線性代數中矩陣的行列式來進行求解，關于矩陣的行列式：點擊這里

【基爾霍夫矩陣】

1.基本定義

1）無向圖 G：給定 n 個點，m 條邊的無向圖，設點集為 V，邊集為 E，則其記為 G(V,E)

2）度數矩陣 D[G]：當 i≠j?時，D[i][j]=0，當 i=j 時，D[i][i]=點 vi?的度數

3）鄰接矩陣 A[G]：當 vi、vj 有邊連接時，A[i][j]=1，當 vi、vj 無邊連接時，A[i][j]=0

4）基爾霍夫矩陣(Kirchhoff) K[G]：也稱拉普拉斯算子，其定義為 K[G]=D[G]-A[G]，即：K[i][j]=D[i][j]-A[i][j]

例如：

2.基爾霍夫矩陣性質

對于任意一個圖 G，其基爾霍夫矩陣 K 具有以下性質：

基爾霍夫矩陣 K 的每一行或每一列上的元素和都是 0

基爾霍夫矩陣 K 的行列式的值為 0

基爾霍夫矩陣 K 的任意一個代數余子式值都相同

如果圖 G 不連通，基爾霍夫矩陣 K 的任意主子式行列式值為 0

如果圖 G 是一棵樹，基爾霍夫矩陣 K 的任意一個 n-1 階主子式的行列式為 1

3.Matrix-Tree 定理

Matrix-Tree 定理的內容為：對于已經得出的基爾霍夫矩陣，去掉其隨意一行一列得出的矩陣的行列式，其絕對值為生成樹的個數

因此，對于給定的圖 G，若要求其生成樹個數，可以先求其基爾霍夫矩陣，然后隨意取其任意一個 n-1 階行列式，然后求出行列式的值，其絕對值就是這個圖中生成樹的個數。

LL K[N][N]; LL gauss(int n){//求矩陣K的n-1階順序主子式LL res=1;for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚舉主對角線上第i個元素for(int j=i+1;j<=n-1;j++){//枚舉剩下的行while(K[j][i]){//輾轉相除int t=K[i][i]/K[j][i];for(int k=i;k<=n-1;k++)//轉為倒三角K[i][k]=(K[i][k]-t*K[j][k]+MOD)%MOD;swap(K[i],K[j]);//交換i、j兩行res=-res;//取負}}res=(res*K[i][i])%MOD;}return (res+MOD)%MOD; } int main(){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);memset(K,0,sizeof(K));for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);K[x][x]++;K[y][y]++;K[x][y]--;K[y][x]--;}printf("%lld\n",gauss(n));return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 生成树 —— 生成树计数 —— 基尔霍夫矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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