【概述】

給出一個(gè)有向圖，每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)權(quán)值，現(xiàn)在要選擇一個(gè)權(quán)值和最大的子圖，使得每個(gè)點(diǎn)的后繼都在子圖中，這個(gè)子圖就稱為最大權(quán)閉合子圖。

如上圖，能選的子圖有：?、{1,2,3,4,5,6}、{3,6}、{2,4,5,6}、{4,6}、{5,6}、{6}、，他們的權(quán)值分別為：0、16、12、4、2、4、5

因此最大閉合子圖為：{1,2,3,4,5,6}，權(quán)值為 16

【解法】

最大權(quán)閉合子圖可以轉(zhuǎn)為最小割問題來求解。

首先記錄整個(gè)圖中所有正點(diǎn)權(quán)之和，然后建立相應(yīng)的流量網(wǎng)絡(luò)

設(shè)一個(gè)超級(jí)源點(diǎn) S 與一個(gè)超級(jí)匯點(diǎn) T，從源點(diǎn) S 向每個(gè)正權(quán)點(diǎn)連一條容量為權(quán)值的邊，每個(gè)負(fù)權(quán)點(diǎn)向匯點(diǎn) T 連一條容量為權(quán)值的絕對(duì)值的邊，原圖中的邊容量均設(shè)為 INF

由于原圖的邊都是無窮大的，那么割邊一定是與源點(diǎn) S 或匯點(diǎn) T 相連的，那么就有以下的含義：

• 割掉 S 與 i 的邊，表示不選擇 i 點(diǎn)作為子圖的點(diǎn)
• 割掉 i 與 T 的邊，表示選擇 i 點(diǎn)為子圖的點(diǎn)
• 如果 S?與 i 有邊，表示 i 存在子圖中
• 如果 i 與 T 有邊，表示 i 不存在于子圖中

在建完圖后，利用 Dinic 求最小割，割掉后與源點(diǎn) S 連通的點(diǎn)就構(gòu)成了最大權(quán)閉合子圖，最小割的值是不選的正權(quán)之和與要選的負(fù)權(quán)絕對(duì)值之和，那么最大權(quán)閉合子圖的權(quán)值就是：正權(quán)值之和-最小割

總結(jié)

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