【定義】

給定一棵樹，樹中的每條邊都有一個權值。

• 樹中兩點的距離：連接兩點的路徑邊權之和
• 樹的直徑：樹中最遠的兩個節點之間的距離
• 樹的最長鏈：連接樹中最遠的兩個結點的路徑

【實現】

樹的直徑通常有兩種求法，時間復雜度均為O(n)。

假設樹以 n 個點 n-1 條邊的無向圖形式給出，存儲在鄰接表中。

1.兩次DFS求樹的直徑

通過兩次 dfs 可以求樹的直徑，且更容易計算出直徑上的具體結點

從任意結點出發，通過 dfs 對樹進行一次遍歷，求出于出發點距離最遠的結點，記為 st

從結點 st 出發，通過 dfs 對樹再進行一次遍歷，求出于 st 距離最遠的結點，記為 ed

則：st 到 ed 的路徑就是樹的直徑

在第 2 步的遍歷中，可以記錄下來每個點第一次被訪問的前驅節點，最后從 q 遞歸到 p，即可得到直徑的具體方案

struct Edge {int to, val;int next;Edge(){}Edge(int to,int val,int next):to(to),val(val),next(next){} } edge[N]; int n; int head[N], tot; int dis[N], maxx, id; int st, ed, diameter;//起點、終點、直徑 int disSt[N], disEd[N];//起點、終點分別到每個點的距離 void addEdge(int from, int to, int val) {edge[++tot].to = to;edge[tot].val = val;edge[tot].next = head[from];head[from] = tot; } void dfs(int x, int father) {for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int y = edge[i].to;int val = edge[i].val;if (y == father)continue;dis[y] = dis[x] + val;if(dis[y]>maxx){maxx = dis[y];id = y;}dfs(y, x);} } void calcDiameter(){//第一遍dfsmaxx = 0;id = 1;dfs(1, 0);st = id;//第二遍dfsmaxx = 0;dis[st] = 0;dfs(st, 0);ed = id;diameter = maxx; //樹的直徑for (int i = 1; i <= n; i++)disSt[i] = dis[i];dis[ed] = 0;dfs(ed, 0);for (int i = 1; i <= n; i++)disEd[i] = dis[i]; }int main() {scanf("%d", &n);memset(head, -1, sizeof(head));for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {int x, y, val;scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);addEdge(x, y, val);addEdge(y, x, val);}calcDiameter();printf("%d %d\n", st, ed);printf("%d\n", diameter);return 0; }

2.樹形DP求樹的直徑

設 1 號節點為根，n 個點 n-1 條邊的無向圖就可以看做有根樹

設 dis1[x] 表示從點 x 到以 x 為根的子樹中葉結點的最長鏈， pos1[x] 表示 dis1[x] 在哪個點更新；dis2[x] 表示從點 x 到以 x 為根的子樹中葉結點的次長鏈，pos2[x] 表示 dis2[x] 在哪個點更新，且要求兩條鏈不能有交集。

這樣一來，對于任意一點 i，經過點 i 的最長鏈的分為兩個部分：i 的最長鏈 dis1[i]、i 的次長鏈 dis2[i]

那么，整棵樹的直徑就是

struct Edge {int to, val;int next;Edge(){}Edge(int to,int val,int next):to(to),val(val),next(next){} } edge[N]; int n; int head[N], tot; int dis1[N], dis2[N];//分別維護第i個點的最長鏈、次長鏈 int pos1[N],pos2[N];//分別維護dis1[i]、dis2[i]從哪個點更新 void addEdge(int from, int to, int val) {edge[++tot].to = to;edge[tot].val = val;edge[tot].next = head[from];head[from] = tot; } void dfs(int x, int father) {for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int y = edge[i].to;int val = edge[i].val;if (y == father)continue;dfs(y, x);if (dis1[y] + val > dis1[x]) {dis2[x] = dis1[x];dis1[x] = dis1[y] + val;pos2[x] = pos1[x];pos1[x] = y;} else if (dis1[y] + val > dis2[x]) {dis2[x] = dis1[y] + val;pos2[x] = y;}} } int main() {scanf("%d", &n);memset(head, -1, sizeof(head));for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {int x, y, val;scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);addEdge(x, y, val);addEdge(y, x, val);}dfs(1, 0);int diameter = -INF;for (int i = 1; i <= n; i++)diameter = max(dis1[i] + dis2[i], diameter);printf("%d", diameter);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的树形结构 —— 树与二叉树 —— 树的直径的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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