【唯一分解定理】

對(duì)于任意一個(gè)大于 1 的正整數(shù) n，都有且只有一種方式寫(xiě)出其素因子的乘積表達(dá)式。

即：，其中，?均為素?cái)?shù)

因此，當(dāng)給出一個(gè)數(shù) n 時(shí)，可以暴力枚舉，以獲取 n 的素因子

map<int, int> num;//記錄素因子個(gè)數(shù) int factor[N],cntF;//記錄素因子 void getFactor(int n){cntF = 0;num.clear();for (int i = 2; i <= n / i;i++){if(n%i == 0)//記錄素因子factor[cntF++] = i;while(n%i == 0) {n /= i;num[i]++;//記錄素因子個(gè)數(shù)}}if(n > 1) {factor[cntF++] = n;num[n]++;} } int main(){int n;scanf("%d",&n);getFactor(n);for(int i=0;i<cntF;i++)cout<<factor[i]<<":"<<num[factor[i]]<<endl;return 0; }

【約數(shù)個(gè)數(shù)函數(shù)】

對(duì)于一個(gè)整數(shù) n，將其通過(guò)唯一分解定理分解，有：?

那么，n?的因子個(gè)數(shù)為：

顯然，d(n) 是一個(gè)積性函數(shù)，那么可以用線性篩求出

由于每個(gè)數(shù)由其最小質(zhì)因子篩出，因此要開(kāi)一個(gè)輔助數(shù)組 num[i] 來(lái)表示 i 最小因子的次冪

那么，可分為以下三種情況討論

1）i 是質(zhì)數(shù)

當(dāng) i 為質(zhì)數(shù)時(shí)，其約數(shù)僅有 1 與其自身，顯然存在：d[i]=2，num[i]=1

2）i%prime[j]!=0

當(dāng) i%prime[j]!=0 時(shí)，i 沒(méi)有 prime[j] 這個(gè)質(zhì)因子，然而 i*prime[j] 中包含 prime[j]

根據(jù)前面得到的?d[i]=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)

因此，要加上當(dāng)前的?prime[j]，從而有：d[i*prime[j]]=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)(1+1)

即：d[i*prime[j]]=d[i]*d[prime[j]]=d[i]*2

由于當(dāng)前的 prime[j] 必然是 i*prime[j] 的最小素因子，因此當(dāng)前最小素因子的個(gè)數(shù)為：num[i*prime[j]]=1

3）i%prime[j]=0

當(dāng) i%prime[j]=0 時(shí)，i 中必然包含了至少一個(gè) prime[j]，且?prime[j] 必定是 i 的最小質(zhì)因數(shù)

由于 i?prime[j] 與 i 相比，至少多了一個(gè)最小質(zhì)因子，根據(jù)前面得到的?d[i]=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)

那么有：d[i?prime[j]]=(a1+1+1)(a2+1)...(ak+1)

即：d[i?prime[j]]=d[i]/(a1+1)?(a1+2)

當(dāng)前最小素因子的個(gè)數(shù)也在原來(lái)的 num[i] 的基礎(chǔ)多了一個(gè)，即：num[i?prime[j]]=num[i]+1

int d[N],num[N]; int prime[N],cnt; bool bprime[N]; void getFactorNum(int n){d[1]=1;num[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;d[i]=2;num[i]=1;}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[i]<=n;j++){bprime[i*prime[j]]=true;if(i%prime[j]!=0){d[i*prime[j]]=2*d[i];num[i*prime[j]]=1;}else{d[i*prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);num[i*prime[j]]=num[i]+1;break;}}} } int main(){int n;scanf("%d",&n);getFactorNum(n);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",d[i]);return 0; }

【約數(shù)和函數(shù)】

對(duì)于一個(gè)整數(shù) n，將其通過(guò)唯一分解定理分解，有：?

其所有因子之和為：

顯然，σ(n) 是一個(gè)積性函數(shù)，那么可以用線性篩求出

設(shè) sp[i] 表示?i 的最小質(zhì)因子的各次冪之和，即：

那么，可分為以下三種情況討論：

1）i?是質(zhì)數(shù)時(shí)

當(dāng) i?為質(zhì)數(shù)時(shí)，其約數(shù)僅有 1 與其自身，顯然存在：sd[i]=i+1，sp[i]=i+1

2）i%prime[j]!=0

當(dāng)?i%prime[j]!=0 時(shí)，i 中不包含 prime[j] 這個(gè)素因子，且 prime[j] 一定是 i*prime[j] 的最小素因子

那么由：?

得：

即有：sd[i*prime[j])=sd[i]*sd[prime[j]]

相應(yīng)的，sp[i*prime[j]]=sp[prime[j]]=prime[j]+1

3）i%prime[j]=0

當(dāng)?i%prime[j]=0 時(shí)，i 中至少包含了一個(gè) prime[j]

那么由：?

得：

可以發(fā)現(xiàn)，兩式唯一的不同在于：

那么：sd[i*prime[j]=sd[i] / (1) * (2)

即：sd[i*prime[j]=sd[i]/sp[i]*(sp[i]*prime[j]+1)

相應(yīng)的，sp[i*prime[j]]=sp[i]*prime[j]+1

int prime[N],cnt; bool bprime[N]; int sd[N],sp[N]; void getSd(int n){sd[1]=1;sp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;sd[i]=i+1;sp[i]=i+1;}for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++){int temp=prime[j]*i;bprime[temp]=true;if(i%prime[j]==0){sp[temp]=sp[i]*prime[j]+1;sd[temp]=sd[i]/sp[i]*sp[temp];break;}sd[temp]=sd[i]*sd[prime[j]];sp[temp]=prime[j]+1;}} } int main(){int n;scanf("%d",&n);getSd(n);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",d[i]); }

【最高次冪】

對(duì)于一個(gè)整數(shù) n，若要求滿足 n=a^p 這個(gè)式子最大的 p，其中 n 可能是負(fù)數(shù)，a、p 是整數(shù)

則可知：p = GCD(k1,k2,k3,...,kn)

比如：24 = 2^3*3^1，p 應(yīng)該是 GCD(3, 1) = 1，即：24 = 24^1

? ? ? ? ? 324 = 3^4*2^2，p應(yīng)該是 GCD(4, 2) = 2，即：324 = 18^2

int prime[N],cnt; bool bprime[N]; void make_prime(){memset(bprime,false,sizeof(bprime));for(int i=2;i<=N;i++){if(!bprime[i]){prime[cnt++]=i;for(LL j=i*2;j<=N;j+=i)bprime[j]=true;}} } int GCD(int a, int b){return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b); }int main(){makePrime();int n;scanf("%d",&n);bool flag=false;if(n<0){//負(fù)數(shù)的情況n=-;flag=true;}int res=0;for(int i=0;i<cnt&&prime[i]<=n;i++){if(n%prime[i]==0){//枚舉每一組的prime^kint k=0;while(n%prime[i]==0){k++;n/=prime[i];}//求p=GCD(k1,k2,...,kn)if(res==0)res=k;elseres=GCD(res,k);}}if(n>1)//若質(zhì)數(shù)除不盡res=GCD(res,1);if(flag){//負(fù)數(shù)時(shí)，冪不可能為偶數(shù)while(res%2==0)res/=2;}printf("%d\n",res);return 0; }

【例題】

Mysterious Bacteria（LightOJ-1220）(最高次冪)：點(diǎn)擊這里

Factors of Factorial（AtCoder-2286）(約數(shù)個(gè)數(shù))：點(diǎn)擊這里

Product of Three Numbers（CF-1294C）(約數(shù)個(gè)數(shù))：點(diǎn)擊這里

Aladdin and the Flying Carpet（LightOJ-1341）(枚舉約數(shù))：點(diǎn)擊這里

炫酷數(shù)字（2019?？秃偎惴ɑA(chǔ)集訓(xùn)營(yíng) Day5-G）(約數(shù)+構(gòu)造)：點(diǎn)擊這里

Sigma Function（LightOJ-1336）(約數(shù)和+公式推導(dǎo))：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 约数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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