1258：【例9.2】數(shù)字金字塔

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【題目描述】

觀察下面的數(shù)字金字塔。寫一個程序查找從最高點到底部任意處結束的路徑，使路徑經過數(shù)字的和最大。每一步可以從當前點走到左下方的點也可以到達右下方的點。

在上面的樣例中,從13到8到26到15到24的路徑產生了最大的和86。

【輸入】

第一個行包含R(1≤R≤1000)，表示行的數(shù)目。

后面每行為這個數(shù)字金字塔特定行包含的整數(shù)。

所有的被供應的整數(shù)是非負的且不大于100。

【輸出】

單獨的一行，包含那個可能得到的最大的和。

【輸入樣例】

5 13 11 8 12 7 26 6 14 15 8 12 7 13 24 11

【輸出樣例】

86

【分析】

方法1：順推

設a[i][j]存儲數(shù)塔，f[i][j]則記錄從起點到第 i 層第 j 列的路徑數(shù)字和。

（1）劃分階段。

? ? ? ? 階段：每一層就是一個階段；樣例中共有五個階段。

（2）確定狀態(tài)和狀態(tài)變量。

? ? ? ? 狀態(tài)：二維數(shù)組中的每個值就是狀態(tài)。狀態(tài)信息用f[i][j]表示。

（2）確定決策并寫出狀態(tài)轉移方程。

? ? ? ? f[i][j]的值從哪來？當然是從上面第 i-1 行的第 j 列和第 j-1 列來。決策：來自上？ 或是 來自左上？，策略：最大化路徑。故：

? ? ? ? 狀態(tài)轉移方程：?

（4）尋找邊界條件。

? ? ? ? 順推時， 邊界：f[1][1]=a[1][1]。目標：max(f[n][j])

（5）設計并實現(xiàn)程序。

【參考代碼1】

#include <stdio.h> #define MAXN 1010int a[MAXN][MAXN]; //存儲數(shù)塔數(shù)據(jù) int f[MAXN][MAXN]; //f[i][j]表示從起點到i層j列的路徑數(shù)字和 int max(int x,int y) {return x > y ? x : y; } int main() {int i,j,n,ans;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);f[1][1]=a[1][1];for(i=2;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]; //狀態(tài)轉移方程 ans=0;for(i=1;i<=n;i++) //max(f[n][j]) ans=max(ans,f[n][i]);printf("%d",ans);return 0; }

方法2：逆推法

逆推時，f[i][j]的值從哪來？是從下面第 i+1 行的第 j 列和第 j+1 列來。狀態(tài)轉移方程為：

?邊界：f[n][j]=a[n][j]。目標：f[1][1]。?

??【參考代碼2】

#include <stdio.h> #define MAXN 1010int a[MAXN][MAXN]; //存儲數(shù)塔數(shù)據(jù) int f[MAXN][MAXN]; //f[i][j]表示從起點到i層j列的路徑數(shù)字和 int max(int x,int y) {return x > y ? x : y; } int main() {int i,j,n;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(i=1;i<=n;i++)f[n][i]=a[n][i];for(i=n-1;i>=1;i--)for(j=1;j<=i;j++)f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j]; //狀態(tài)轉移方程 printf("%d",f[1][1]); //目標 f[1][1] return 0; }

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1258

總結

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