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编程问答

满二叉树及完全二叉树的相关性质证明

發布時間：2025/3/17 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了满二叉树及完全二叉树的相关性质证明小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

高為h的滿二叉樹的結點數為：

2^h-1

各層結點數為

2^0,2^1,...,2^{h-1}

根據等比序列求和公式，可得到總結點數：

s=1(1-2^h)/(1-2) = 2^h-1

高為h的完全二叉樹的結點數范圍為：

2^{h-1},2^h-1]

結點最少情況為：h-1層滿二叉樹加1個結點。
結點最多情況為：h層滿二叉樹。

結點數為n的滿二叉樹層數為：

log_2(n+1)

證明：

2^h-1 = n

2^h = n+1

h=log_2(n+1)

結點數為n的完全二叉樹層數為：

?log2n?+1\lfloor log_2n \rfloor+1

證明：
設該二叉樹有h層，第h層有m個結點
要證明：

h=?log2n?+1h=\lfloor log_2n \rfloor+1

前h-1層是滿二叉樹，共

n ? m

個結點，
即

h-1=log_2(n-m+1)

h=log_2(n-m+1)+1

因為：

m≥1m\ge1

，所以：

m?1≥0m-1\ge0

因此：

log2n≥log2(n?(m?1))log_2n \ge log_2(n-(m-1))

所以：

log2n+1≥log2(n?m+1)+1=hlog_2n + 1 \ge log_2(n-m+1)+1 = h

第h層的結點數最多為

2^{h-1}

個
如樹的結點有

n-m+2^{h-1}

個，這就是一個h層滿二叉樹
此時

h = log_2(n-m+2^{h-1}+1)

已知

1≤m≤2h?11\le m \le 2^{h-1}

那么

m?1≤2h?1?1m-1\le 2^{h-1}-1

那么

2h?1?(m?1)≥1>02^{h-1} -(m-1) \ge 1 > 0

有

h=log_2(n+2^{h-1} -(m-1)) > log_2n

綜上，有

log2n<h≤log2n+1log_2n<h \le log_2n+1

設

log2n=?log2n?+alog_2n = \lfloor log_2n \rfloor+a

，
其中

\leq a <1

即

?log2n?+a<h≤?log2n?+a+1\lfloor log_2n \rfloor+a<h\le\lfloor log_2n \rfloor+a+1

如果

a = 0

那么

?log2n?<h≤?log2n?+1\lfloor log_2n \rfloor<h\le\lfloor log_2n \rfloor+1

已知h是整數，有

h=?log2n?+1h=\lfloor log_2n \rfloor+1

如果

0 < a < 1

那么

?log2n?+a<?log2n?+1≤h≤?log2n?+a+1\lfloor log_2n \rfloor+a< \lfloor log_2n \rfloor+1\le h\le\lfloor log_2n \rfloor+a+1

此時有

h=?log2n?+1h=\lfloor log_2n \rfloor+1

命題得證

以上是生活随笔為你收集整理的满二叉树及完全二叉树的相关性质证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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