【題目鏈接】

ybt 1195：判斷整除
OpenJudge 2.6 3531:判斷整除

【題目考點】

1. 動態規劃：線性動規

【解題思路】

每次添加的數字可能是正數，可能是負數，這樣構成一個數字序列。

1. 狀態定義：

考慮如下情況：如果最后一個輸入的數字是x，前面的數字加和為s

• 如果添加x后加和能被k整除，那么有$(s+x)\%k=0$。即如果$s\%k=(k?x\%k)\%k$，那么添加x后加和能被k整除。
• 如果添加-x后能被k整除，那么有$(s?x)\%k=0$， 即如果$s\%k=x\%k$，那么添加-x后加和能被k整除。

如果以上兩種情況中有一種成立，那么就可以得到能被k整除的加和。
而要判斷上述條件是否成立，必須要可以做到判斷前i個數字的加和整除k后能否得到某數字j。
因此，設計狀態定義：
dp[i][j]為是否存在數字序列方案可以使得前i個數字的加和除k余j，如果存在，值為true；不存在，值為false。
初始狀態：dp[0][0]為前0個數字的加和（加和為0）是否除k余0，是的。因此dp[0][0] = true。
要求的結果為：前n個數字加和是否可以除k余0，即dp[n][0]

2. 狀態轉移方程

考慮要使前i個數字的加和除k后余j，前i-1個數字的加和必須如何？
設輸入的第$i$個數字為$v$，前$i?1$個數字的加和為$s$：

• 如果添加數字$v$后加和除$k$余$j$，那么有$(s+v)\%k=j$，即$s\%k=(j+k?v\%k)\%k$

推導過程：
由于$(s+v)\%k=j$，那么一定有$j<k$，所以$j=j\%k=j\%k\%k$
$(s+v)\%k=j?$
$(s\%k+v\%k)\%k=j\%k\%k$
兩邊為$a\%k=b\%k$的形式，兩邊被除數加上相同的數字后，余數一定還是相等的，即$(a+c)\%k=(b+c)\%k$
讓兩邊被除數加上$k?v\%k$
$(s\%k+v\%k+k?v\%k)\%k=(j\%k+k?v\%k)\%k?$
$(s\%k+k)\%k=(j\%k+k?v\%k)\%k?$
$s\%k=(j+k?v\%k)\%k$

• 如果添加數字$?v$后加和除$k$余$j$，那么有$(s?v)\%k=j$，即$s\%k=(j+v)\%k$

推導過程：
由于$(s?v)\%k=j$，那么一定有$j<k$，所以$j=j\%k=j\%k\%k$
$(s?v)\%k=j?$
$(s\%k?v\%k)\%k=j\%k\%k$
兩邊為$a\%k=b\%k$的形式，兩邊被除數加上相同的數字后，余數一定還是相等的，即$(a+c)\%k=(b+c)\%k$
讓兩邊被除數加上$v\%k$
$(s\%k?v\%k+v\%k)\%k=(j\%k+v\%k)\%k?$
$s\%k\%k=(j\%k+v\%k)\%k?$
$s\%k=(j+v)\%k$

因此，如果前$i?1$個數字的加和$s$滿足$s\%k=(j+k?v\%k)\%k$，那么接下來添加數字$v$，得到的前$i$個數的加和滿足除k余j。
如果$i?1$個數字的加和$s$滿足$s\%k=(j+v)\%k$，那么接下來添加數字$?v$，得到的前$i$個數的加和滿足除k余j。
也可以說，只要前$i?1$個數字的加和$s$滿足$s\%k=(j+k?v\%k)\%k$或$s\%k=(j+v)\%k$，都可以通過添加v或v的相反數，來讓前$i$個數的加和滿足除k余j。
因此可以得出狀態轉移方程：
dp[i][j] = dp[i-1][j+k-v%k] || dp[i-1][(j+v)%k]
其中v為第i個數字。
或者先將各個數字輸入到數組a中，a[i]為第i個數字，狀態轉移方程為：
dp[i][j] = dp[i-1][j+k-a[i]%k] || dp[i-1][(j+a[i])%k]

【題解代碼】

解法1：線性動規

• 寫法1：先輸入數據到數組，再求狀態

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; bool dp[10005][105];//dp[i][j]表示前i個數字（無論正負）的和結果模k能不能得到j int a[10005]; int main() {int n, k, v;cin >> n >> k;dp[0][0] = true;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 0; j < k; ++j)//j是除k得到的余數，范圍為0~k-1 dp[i][j] = dp[i-1][(k+j-a[i]%k)%k] || dp[i-1][(j+a[i])%k]; cout << (dp[n][0] ? "YES" : "NO");return 0; }

• 寫法2：一邊輸入一邊求狀態

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; bool dp[10005][105];//dp[i][j]表示前i個數字（無論正負）的和結果模k能不能得到j int main() {int n, k, v;cin >> n >> k;dp[0][0] = true;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> v;for(int j = 0; j < k; ++j)//j是除k得到的余數，范圍為0~k-1 dp[i][j] = dp[i-1][(k+j-v%k)%k] || dp[i-1][(j+v)%k]; }cout << (dp[n][0] ? "YES" : "NO");return 0; }

總結

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